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24. （8分）如图，$AD$是$\triangle ABC$的中线，$\tan B = \frac{1}{3}$，$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$AC = \sqrt{2}$.
（1）求$BC$的长；
（2）求$\sin\angle ADC$的值.
（1）求$BC$的长；
（2）求$\sin\angle ADC$的值.
答案：
解:
(1) 过点 $A$ 作 $AE\perp BC$ 于点 $E,\therefore\angle AEC=\angle AEB=90^{\circ}$. 在 $Rt\triangle ACE$ 中, $\because\cos C=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore\angle C=45^{\circ},CE=AC\cdot\cos C=1,\therefore\angle EAC=90^{\circ}-\angle C=45^{\circ}=\angle C,\therefore AE=CE=1$. 在 $Rt\triangle ABE$ 中, $\because\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{3},\therefore BE=3AE=3,\therefore BC=BE+CE=4$.
(2) $\because AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线, $\therefore CD=\frac{1}{2}BC=2,\therefore DE=CD-CE=1=CE.\because AE\perp BC,\therefore AD=AC,\therefore\angle ADC=\angle C=45^{\circ},\therefore\sin\angle ADC=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1) 过点 $A$ 作 $AE\perp BC$ 于点 $E,\therefore\angle AEC=\angle AEB=90^{\circ}$. 在 $Rt\triangle ACE$ 中, $\because\cos C=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore\angle C=45^{\circ},CE=AC\cdot\cos C=1,\therefore\angle EAC=90^{\circ}-\angle C=45^{\circ}=\angle C,\therefore AE=CE=1$. 在 $Rt\triangle ABE$ 中, $\because\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{3},\therefore BE=3AE=3,\therefore BC=BE+CE=4$.
(2) $\because AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线, $\therefore CD=\frac{1}{2}BC=2,\therefore DE=CD-CE=1=CE.\because AE\perp BC,\therefore AD=AC,\therefore\angle ADC=\angle C=45^{\circ},\therefore\sin\angle ADC=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
25. （10分）如图，某校综合实践活动小组先在山峰对面广场上的$A$处测得山顶$N$的仰角为$45^{\circ}$，此时，他们刚好与山脚$D$在同一水平线上.然后他们沿着坡角为$30^{\circ}$的斜坡正对着山峰前行110m到达$B$处，测得山峰$N$的仰角为$60^{\circ}$.根据以上条件求出该山峰的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到1m，参考数据：$\sqrt{2}\approx 1.414$，$\sqrt{3}\approx 1.732$）
答案：
解: 过点 $B$ 分别作 $BF\perp DN$ 于点 $F,BE\perp AD$ 于点 $E.\because\angle D=90^{\circ},\therefore$ 四边形 $BEDF$ 是矩形, $\therefore BE=DF,BF=DE$. 在 $Rt\triangle ABE$ 中, $\cos\angle BAE=\frac{AE}{AB},\sin\angle BAE=\frac{BE}{AB},\therefore AE=AB\cdot\cos30^{\circ}=110\times\frac{\sqrt{3}}{2}=55\sqrt{3}(m),BE=AB\cdot\sin30^{\circ}=110\times\frac{1}{2}=55(m),\therefore DF=55m$. 设 $BF=DE=xm$, 则 $AD=AE+DE=(55\sqrt{3}+x)m$. 在 $Rt\triangle BFN$ 中, $\tan\angle NBF=\frac{NF}{BF},\therefore NF=BF\cdot\tan60^{\circ}=\sqrt{3}x m,\therefore DN=DF+NF=(55+\sqrt{3}x)m.\because\angle NAD=45^{\circ},\therefore\angle AND=90^{\circ}-\angle NAD=45^{\circ}=\angle NAD,\therefore AD=DN$, 即 $55\sqrt{3}+x=55+\sqrt{3}x$, 解得 $x=55,\therefore DN=55+\sqrt{3}x\approx55+1.732\times55\approx150(m)$. 答: 该山峰的高度约为 $150m$.
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