《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

新趋势 项目式学习 根据以下素材,回答问题：
素材1：在魏晋时期,数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。所谓割圆术,即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的周长与面积无限接近圆的周长与面积,进而求得较为精确的圆周率。刘徽形容“割圆术”：“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。”
素材2：“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为$\frac {b}{a}和\frac {d}{c}$(即有$\frac {b}{a}\lt x＜\frac {d}{c}$,其中a,b,c,d为正整数),则$\frac {b+d}{a+c}$是x的更为精确的近似值。例如：已知$\frac {7}{5}＜\sqrt {2}＜\frac {3}{2}$,则利用一次“调日法”后可得到$\sqrt {2}的一个更为精确的近似分数为\frac {7+3}{5+2}= \frac {10}{7}$；由于$\frac {10}{7}＞\sqrt {2}$,可得$\frac {7}{5}＜\sqrt {2}＜\frac {10}{7}$,之后可以再次使用“调日法”得到$\sqrt {2}$的更为精确的近似分数。
素材3：在日常生活中,我们也可以估计π的值,如通过卷尺量得一个圆形平台直径为2m,周长为6.3m,则可利用圆的周长公式估计π的值。
任务1：(1)①如图①,已知圆的内接正六边形可分为六个全等的等边三角形,每个三角形的边长均为圆的半径R。若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,则可得π的估计值为____。

②如图②,已知圆的内接正十二边形可分为十二个全等的等腰三角形,且等腰三角形的顶角为30°。若将圆内接正十二边形的面积等同于圆的面积,则可得π的估计值为____。
任务2：(2)约公元前240年,阿基米德算得$3\frac {10}{71}＜π＜3\frac {1}{7}$,已知$\frac {245}{78}＜π$,请在此基础上使用两次“调日法”得到π的更为精确的近似分数。
任务3：(3)①利用素材3,可估计π的值为____。
②已知球的体积公式是$V= \frac {4}{3}πR^{3}$,其中R是球的半径。小华量得一个球形空心容器的半径为60cm(忽略容器厚度),往其中注入$0.9m^{3}$的水可将该容器注满,则可估计π的值为____。

答案：

(1)①3 解析:此时圆内接正六边形的周长为 6R,由 $2\pi R = 6R$ 可得 $\pi$ 的估计值为 3.
②3 解析:如图,AB 是正十二边形的一条边,点 O 是正十二边形的中心,设圆 O 的半径为 R,过 A 作 $AM \perp OB$ 于点 M,由题意可得 $\angle AOB = 30^\circ$, $\therefore AM = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}R$, $\therefore S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}OB \cdot AM = \frac{1}{2} \times R \times \frac{1}{2}R = \frac{1}{4}R^2$, $\therefore$ 正十二边形的面积为 $12 \times \frac{1}{4}R^2 = 3R^2$, $\therefore 3R^2 = R^2 \times \pi$, $\therefore \pi = 3$, $\therefore \pi$ 的近似值为 3.

(2) $\because 3\frac{10}{71} ＜ \pi ＜ 3\frac{1}{7}$, 即 $\frac{223}{71} ＜ \pi ＜ \frac{22}{7}$, $\therefore$ 使用一次“调日法”后可得到 $\pi$ 的一个更为精确的近似分数为 $\frac{223 + 22}{71 + 7} = \frac{245}{78}$. $\because \frac{245}{78} ＜ \pi$, 可得 $\frac{245}{78} ＜ \pi ＜ \frac{22}{7}$, 之后可以再次使用“调日法”得到 $\pi$ 的更为精确的近似分数为 $\frac{245 + 22}{78 + 7} = \frac{267}{85}$, 故在此基础上使用两次“调日法”得到 $\pi$ 的更为精确的近似分数为 $\frac{267}{85}$.
(3)①3.15
②3.125 解析:60 cm = 0.6 m, 则 $\frac{4}{3}\pi \times (0.6)^3 = 0.9$, 可得 $\pi = \frac{0.9}{0.288} = 3.125$.