《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

8. 已知数$a, b, c$在数轴上的位置如图所示, 化简$\sqrt{a^{2}}-|a+c|-\sqrt{(c-b)^{2}}-\sqrt{(-b)^{2}}$的结果是()

A. $2 c-2 b$
B. $-2 c$
C. $-2 a-2 c$
D. 0

答案： A　解析:观察数轴可知，$c＜a＜0＜b$，$\therefore a＜0$，$a + c＜0$，$c - b＜0$，$-b＜0$，$\therefore \sqrt{a^{2}} - |a + c| - \sqrt{(c - b)^{2}} - \sqrt{(-b)^{2}} = -a + a + c - b + c - b = 2c - 2b$. 故选A.

9. (1)(广安中考)若$(a-3)^{2}+\sqrt{b-5}= 0$, 则以$a$, $b$为边长的等腰三角形的周长为______.
(2)(贺州中考)若$m, n满足|m-n-5|+$ $\sqrt{2 m+n-4}= 0$, 则$3 m+n= $______.

答案：
(1)11或13　解析:$\because (a - 3)^{2}+\sqrt{b - 5}=0$，$\therefore a = 3$，$b = 5$. 当$a = 3$为腰时，三角形的周长为$2a + b = 6 + 5 = 11$；当$b = 5$为腰时，三角形的周长为$a + 2b = 3 + 10 = 13$.
(2)7　解析:由题意知，m，n满足$|m - n - 5|+\sqrt{2m + n - 4}=0$，$\therefore m - n - 5 = 0$，$2m + n - 4 = 0$，$\therefore m = 3$，$n = -2$，$\therefore 3m + n = 9 - 2 = 7$.

10. (2023·内蒙古中考改编)设$S_{1}= $ $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}, S_{2}= \sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}, S_{3}= $ $\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}, …, S_{n}= \sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}$. 在草稿纸上计算前三个式子, 观察计算所得结果, 用你发现的规律计算$S_{1}+S_{2}+S_{3}+…+S_{50}$的值为______.

答案： $50\frac{50}{51}$　解析:$\because S_{1}=\sqrt{1 + 1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}=1+\frac{1}{1\times2}=1 + 1-\frac{1}{2}$，
　$S_{2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}=\frac{7}{6}=1+\frac{1}{2\times3}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
　$S_{3}=\sqrt{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}}=\frac{13}{12}=1+\frac{1}{3\times4}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\cdots$，$S_{n}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$，
　$\therefore S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{50}=1 + 1-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+1+\frac{1}{50}-\frac{1}{51}=50 + 1-\frac{1}{51}=50\frac{50}{51}$.

11. (2024·宁波校级期中)在如图所示的$3 × 3$的方格中, 画出4个面积小于9的不同的正方形, 而且所画正方形的顶点都在方格的顶点上, 并写出你所画的正方形的边长.

边长:______
边长:______

边长:______
边长:______

答案：
先求出正方形面积，进而得出正方形边长，答案合理即可，示例:

12. 找规律并解决问题.
(1)填写下表:

| $a$ | $0.0001$ | $0.01$ | $1$ | $100$ | $10000$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\sqrt{a}$ | | | | | |
想一想: 上表中已知数$a的小数点的移动与它的算术平方根\sqrt{a}$的小数点的移动间有何规律?
(2)利用规律计算:
①已知$\sqrt{15}= k, \sqrt{0.15}= a, \sqrt{1500}= b$, 用含$k的代数式分别表示a, b$.
②已知$\sqrt{3} \approx 1.732, \sqrt{30} \approx 5.477$, 则$\sqrt{300} \approx$______, $\sqrt{0.003} \approx$______.
(3)如果$\sqrt{7}是\sqrt{x}$的100倍, 求$x$的值.

答案：
(1)0.01　0.1　1　10　100
　　规律:数a的小数点向右(左)移动两位，其算术平方根$\sqrt{a}$的小数点向右(左)移动一位.
(2)①$a = 0.1k$，$b = 10k$. ②17.32 0.05477
(3)$\because \sqrt{7}$是$\sqrt{x}$的100倍，$\therefore \sqrt{x}=\frac{\sqrt{7}}{100}$，$\therefore x = 0.0007$.

13. (1)若$\sqrt{(a-2)^{2}}= 2-a$, 则$a$的取值范围是______.
(2)对于有理数$x, \sqrt{99-x}+\sqrt{x-99}+\frac{1}{x}$的值是______.

答案：
(1)$a\leqslant2$
(2)$\frac{1}{99}$解析:$\because 99 - x\geqslant0$，$x - 99\geqslant0$，$\therefore x = 99$，
　$\therefore \sqrt{99 - x}+\sqrt{x - 99}+\frac{1}{99}=\frac{1}{99}$. 故答案为$\frac{1}{99}$.

14. 新题型 双空题 如图①, 一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形(无缝隙、不重叠), 现将这四个直角三角形分别沿着正方形四条边向外翻折, 翻折后得到图②所示的大正方形.
(1)若阴影小正方形的边长为1, 则图②中大正方形的面积为______.
(2)若图②中大正方形的边长为正整数, 则阴影小正方形的边长为______.

答案：
(1)71　解析:$\because$一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形，阴影小正方形的边长为1，$\therefore$四个完全相同的直角三角形的面积和为$6^{2}-1^{2}=35$. 由翻折的性质可得，翻折后的三角形面积等于翻折前的三角形面积，$\therefore$题图②中8个完全相同的直角三角形的面积和为$35\times2 = 70$，$\therefore$大正方形的面积为$70 + 1 = 71$.
(2)$\sqrt{23}$或$\sqrt{8}$解析:设阴影小正方形的面积为x，则大正方形的面积为$72 - x$，$\therefore$大正方形的边长为$\sqrt{72 - x}$，
　$\because$大正方形的边长为正整数，$\therefore$边长大于6且小于9，$\therefore \sqrt{72 - x}=7$或$\sqrt{72 - x}=8$，$\therefore x = 23$或$x = 8$. $\therefore$阴影小正方形的边长为$\sqrt{23}$或$\sqrt{8}$.