《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

14. 若实数$a$,$b$,$c$满足关系式：$\sqrt{a - 199 + b} \cdot \sqrt{199 - a - b} = \sqrt{3a + 2b - 2 - c} + \sqrt{2a + 3b - c}$,试确定$c$的值.

答案： 依题意，可得 $a - 199 + b \geq 0$，$199 - a - b \geq 0$，即 $a + b - 199 \geq 0$，$199 - (a + b) \geq 0$。故可得 $a + b - 199 = 0$，即 $a + b = 199$ ①，将其代入原式，可得 $\sqrt{3a + 2b - 2 - c} + \sqrt{2a + 3b - c} = 0$，则有 $\begin{cases}3a + 2b - 2 - c = 0 & ②\\2a + 3b - c = 0 & ③\end{cases}$，由 ② + ③，得 $5(a + b) - 2 - 2c = 0$ ④，将 ① 代入 ④，得 $5 \times 199 - 2 - 2c = 0$，解得 $c = \frac{993}{2}$。

15. (泰州中考)若实数$a$,$b满足\sqrt{a + 1} + 4a^2 + 4ab + b^2 = 0$,则$b^a$的值为 ()
A. 2
B. $\frac{1}{2}$
C. -2
D. $-\frac{1}{2}$

答案： B

16. (2024·内江模拟)若$|2a - 3b + 5|与\sqrt{3a - 2b - 1}$互为相反数,则$a + b = $____.

答案： 6 解析：$\because |2a - 3b + 5|$ 与 $\sqrt{3a - 2b - 1}$ 互为相反数，$\therefore |2a - 3b + 5| + \sqrt{3a - 2b - 1} = 0$。$\because |2a - 3b + 5| \geq 0$，$\sqrt{3a - 2b - 1} \geq 0$，$\therefore \begin{cases}2a - 3b + 5 = 0\\3a - 2b - 1 = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a = \frac{13}{5}\\b = \frac{17}{5}\end{cases}$，$\therefore a + b = \frac{13}{5} + \frac{17}{5} = 6$。

17. 已知$x$,$y$,$z满足\sqrt{2y + z} + |x - y| + z^2 - z + \frac{1}{4} = 0$,求$2x - y + z$的算术平方根.

答案： 由题意得 $\sqrt{2y + z} + |x - y| + (z - \frac{1}{2})^2 = 0$，$\therefore 2y + z = 0$，$x - y = 0$，$z - \frac{1}{2} = 0$，解得 $x = -\frac{1}{4}$，$y = -\frac{1}{4}$，$z = \frac{1}{2}$，则 $2x - y + z = 2 \times (-\frac{1}{4}) - (-\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$，$\therefore 2x - y + z$ 的算术平方根为 $\frac{1}{2}$。

18. 已知$(ab - 2)^2 + \sqrt{b - 1} = 0$.
(1)求$a$,$b$的值；
(2)求$\frac{1}{ab} + \frac{1}{(a + 1)(b + 1)} + \frac{1}{(a + 2)(b + 2)} + … + \frac{1}{(a + 2024)(b + 2024)}$的值.

答案：
(1) $\because (ab - 2)^2 \geq 0$，$\sqrt{b - 1} \geq 0$，$(ab - 2)^2 + \sqrt{b - 1} = 0$，$\therefore ab - 2 = 0$，$b - 1 = 0$，$\therefore a = 2$，$b = 1$。
(2) 当 $a = 2$，$b = 1$ 时，原式 $= \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{2025 \times 2026} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2025} - \frac{1}{2026} = 1 - \frac{1}{2026} = \frac{2025}{2026}$。