《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

9. 如图,$△ABC$是等边三角形,$AB= 10$,D是BC边上任意一点,$DE⊥AB$于点E,$DF⊥AC$于点F,则$BE+CF$的长是 ()

A. 5
B. 6
C. 8
D. 10

答案： A 解析:设BD=x,则CD=10−x,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°,
∴∠EDB=∠FDC=30°,
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{x}{2}$,同理可得,CF=$\frac{10−x}{2}$,
∴BE+CF=$\frac{x}{2}$+$\frac{10−x}{2}$=5.故选A.

10. (2024·德州期末)如图,$△ABC$是等边三角形,AD是BC边上的高,E是AC的中点,P是AD上的一个动点,当PC与PE的和最小时,$∠CPE$的度数是 ()

A. $60^{\circ }$
B. $50^{\circ }$
C. $45^{\circ }$
D. $30^{\circ }$

答案： A 解析:连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小,
∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴PC=PB,
∴PE+PC=PB+PE≥BE,即BE就是PE+PC的最小值.
∵∠BCE=60°,BA=BC,AE=EC,
∴BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠EBC=30°.
∵PB=PC,
∴∠PCB=∠PBC=30°,
∴∠CPE=∠PCB+∠PBC=30°+30°=60°.故选A.

11. 如图,$∠AOB= 60^{\circ },OA= OB$,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边$△ACD$,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是 ()

A. 平行
B. 相交
C. 垂直
D. 平行、相交或垂直

答案： A 解析:
∵∠AOB=60°,OA=OB,
∴△OAB是等边三角形,
∴OA=AB,∠OAB=∠ABO=60°.
①当点C在线段OB上时,如图①,
∵△ACD是等边三角形,
∴AC=AD,∠CAD=60°,
∴∠OAC=∠BAD.在△AOC和△ABD中,{AO=AB,∠OAC=∠BAD,AC=AD,
∴△AOC≌△ABD.
∴∠ABD=∠AOC=60°,
∴∠DBE=180°−∠ABO−∠ABD=60°=∠AOB,
∴BD//OA;
②当点C在OB的延长线上时,如图②,
∵△ACD是等边三角形,
∴AC=AD,∠CAD=60°,
∴∠OAC=∠BAD.在△AOC和△ABD中,{AO=AB,∠OAC=∠BAD,AC=AD,
∴△AOC≌△ABD,
∴∠ABD=∠AOC=60°,
∴∠DBE=180°−∠ABO−∠ABD=60°=∠AOB,
∴BD//OA,故选A.

12. 如图,在$△ABC$中,$∠BAC= 120^{\circ }$,AD平分$∠BAC,DE// AB,AD= 3,CE= 5$,则AC的长为____.

答案： 8 解析:
∵∠BAC=120°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=60°.
∵DE//AB,
∴∠BAD=∠ADE=60°,∠DEC=∠BAC=120°,
∴∠AED=60°,
∴∠ADE=∠AED,
∴△ADE是等边三角形,
∴AE=AD=3,
∴AC=AE+CE=3+5=8.

13. (2024·新疆中考)如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },∠A= 30^{\circ },AB= 8$.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且$∠BCD= 30^{\circ }$,则AD的长为____.

答案： 6或12 解析:
∵∠C=90°,∠A=30°,AB=8,
∴∠B=60°,BC=$\frac{1}{2}$AB=4.
如图①,当点D在线段AB上时,
∵∠BCD=30°,∠B=60°,
∴∠BDC=90°,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2,
∴AD=AB−BD=6;
如图②,当点D在线段AB延长线上时,
∵∠BCD=30°,∠ABC=60°,
∴∠D=∠ABC−∠BCD=30°=∠BCD,
∴BC=BD=4,
∴AD=AB+BD=12;如图③,当点D在线段BA延长线上时,此时∠BCD＞∠ACB,即∠BCD＞90°,故不符合题意,舍去.综上所述,AD的长为6或12.

14. 改编题 如图,在四边形ABCD中,$AB= AD,BC= DC,∠A= 60^{\circ }$,点E为AD边上一点,连接BD,CE,CE与BD交于点F,且$CE// AB$,若$AB= 8,CE= 6$,则CF的长为____.

答案： 4 解析:连接AC交BD于点O.
∵AB=AD,BC=DC,∠BAD=60°,
∴AC垂直平分BD,△ABD是等边三角形,
∴∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD=8,BO=OD=4.
∵CE//AB,
∴∠BAO=∠ACE=30°,∠CED=∠BAD=60°,
∴∠DAO=∠ACE=30°,
∴AE=CE=6,
∴DE=AD−AE=2.
∵∠CED=∠ADB=60°,
∴△EDF是等边三角形,
∴DE=EF=DF=2,
∴CF=CE−EF=4.

15. (2025·枣庄校级月考)如图,在等边三角形ABC中,M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使$CN= AM$,连接MN交AC于点P,$MH⊥AC$于点H.
(1)求证:$MP= NP;$
(2)若$AB= a$,求线段PH的长.(结果用含a的代数式表示)

答案：
(1)如图,过点M作MQ//BC,交AC于点Q,在等边△ABC中,∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵MQ//BC,
∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,
∴△AMQ是等边三角形,
∴AM=QM.
∵AM=CN,
∴QM=CN.在△QMP和△CNP中,{∠QPM=∠CPN,∠QMP=∠N,QM=CN,
∴△QMP≌△CNP(AAS),
∴MP=NP.
(2)
∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,
∴AH=HQ,
∵△QMP≌△CNP,
∴QP=CP,
∴PH=HQ+QP=$\frac{1}{2}$AC.
∵AB=α,AB=AC,
∴PH=$\frac{1}{2}$a.

16. 如图,在$Rt△ACB$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠A= 30^{\circ },∠ABC$的平分线BE交AC于点E,点D为AB上一点,且$AD= AC$,CD,BE交于点M.
(1)求$∠DMB$的度数;
(2)若$CE= 1$,求AD的长度;
(3)若$CH⊥BE$于点H,证明:$AB= 4MH$.

答案：
(1)
∵∠A=30°,AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD=$\frac{1}{2}$×(180°−30°)=75°.又
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=60°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=30°,
∴∠DMB=∠ADC−∠ABE=75°−30°=45°.
(2)
∵∠ABE=∠CBE=30°,
∴BE=2CE=2.
∵∠ABE=∠A=30°,
∴AE=BE=2,
∴AC=3,
∴AD=AC=3.
(3)
∵CH⊥BE,
∴∠CHB=90°.
∵∠HMC=∠DMB=45°,
∴∠HCM=∠HMC=45°,
∴HM=HC.
∵∠CHB=90°,∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°,
∴HC=HM=$\frac{1}{2}$BC.
∵∠A=30°,∠ACB=90°,
∴BC=$\frac{1}{2}$AB,
∴AB=2BC=4MH.