《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

10. (2023·襄阳中考) 在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下. 每到傍晚, 市内某网红烧烤店就食客如云, 这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销, 店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售, 其中海鲜串的成本为 $ m $ 元/支, 肉串的成本为 $ n $ 元/支; 两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示 (成本包括进价和其他费用):

针对团队消费, 店主决定每次消费海鲜串不超过 200 支时, 每支售价 5 元; 超过 200 支时, 不超过 200 支的部分按原价, 超过 200 支的部分打八折, 每支肉串的售价为 3.5 元.
(1) 求 $ m $, $ n $ 的值;
(2) 五一当天, 一个旅游团去此店吃烧烤, 一次性消费海鲜串和肉串共 1000 支, 且海鲜串不超过 400 支. 在本次消费中, 设该旅游团消费海鲜串 $ x $ 支, 店主获得海鲜串的总利润为 $ y $ 元, 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式, 并写出自变量 $ x $ 的取值范围;
(3) 在 (2) 的条件下, 该旅游团消费的海鲜串超过了 200 支, 店主决定给该旅游团更多优惠, 对每支肉串降价 $ a ( 0 ＜ a ＜ 1 ) $ 元, 但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润, 求 $ a $ 的最大值.

答案：
(1) 根据表格可得 $ \begin{cases} 3000m + 4000n = 17000, \\ 4000m + 3000n = 18000, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = 3, \\ n = 2. \end{cases} $
∴ $ m $ 的值为 3，$ n $ 的值为 2。
(2) 当 $ 0 ＜ x ≤ 200 $ 时，店主获得海鲜串的总利润 $ y = (5 - 3)x = 2x $；当 $ 200 ＜ x ≤ 400 $ 时，店主获得海鲜串的总利润 $ y = (5 - 3)×200 + (5×0.8 - 3)(x - 200) = x + 200 $。
∴ $ y = \begin{cases} 2x(0 ＜ x ≤ 200), \\ x + 200(200 ＜ x ≤ 400). \end{cases} $
(3) 设降价后获得肉串的总利润为 $ z $ 元，令 $ W = z - y $。
∵ $ 200 ＜ x ≤ 400 $，
∴ $ y = x + 200 $。又
∵ $ z = (3.5 - a - 2)(1000 - x) = (a - 1.5)x + 1500 - 1000a $，
∴ $ W = z - y = (a - 2.5)x + 1300 - 1000a $。
∵ $ 0 ＜ a ＜ 1 $，
∴ $ a - 2.5 ＜ 0 $，
∴ $ W $ 随 $ x $ 的增大而减小。当 $ x = 400 $ 时，$ W $ 的值最小。由题意可得 $ z ≥ y $，
∴ $ W ≥ 0 $，即 $ (a - 2.5)×400 + 1300 - 1000a ≥ 0 $，解得 $ a ≤ 0.5 $。
∴ $ a $ 的最大值是 0.5。

11. $ A $ 城有某种农机 30 台, $ B $ 城有该农机 40 台, 现要将这些农机全部运往 $ C $, $ D $ 两乡, 调运任务承包给某运输公司. 已知 $ C $ 乡需要农机 34 台, $ D $ 乡需要农机 36 台, 从 $ A $ 城往 $ C $, $ D $ 两乡运送农机的费用分别为 250 元/台和 200 元/台, 从 $ B $ 城往 $ C $, $ D $ 两乡运送农机的费用分别为 150 元/台和 240 元/台.
(1) 设从 $ A $ 城运往 $ C $ 乡该农机 $ x $ 台, 运送全部农机的总费用为 $ W $ 元, 求 $ W $ 关于 $ x $ 的函数表达式, 并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(2) 现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于 16460 元, 则有多少种不同的调运方案? 将这些方案设计出来.
(3) 现该运输公司决定对从 $ A $ 城运往 $ C $ 乡的农机的运输费每台减免 $ a $ 元 $ ( a \leq 200 ) $ 作为优惠, 其他费用不变, 如何调运, 使总费用最少?

答案：
(1) 若从 $ A $ 城运往 $ C $ 乡农机 $ x $ 台，则从 $ A $ 城运往 $ D $ 乡农机 $ (30 - x) $ 台，从 $ B $ 城运往 $ C $ 乡农机 $ (34 - x) $ 台，从 $ B $ 城运往 $ D $ 乡农机 $ [40 - (34 - x)] $ 台，
∴ $ W = 250x + 200(30 - x) + 150(34 - x) + 240[40 - (34 - x)] = 140x + 12540 $。
又
∵ $ \begin{cases} x ≥ 0, \\ 30 - x ≥ 0, \\ 34 - x ≥ 0, \\ 40 - (34 - x) ≥ 0, \end{cases} $
∴ $ 0 ≤ x ≤ 30 $，
∴ $ W $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ W = 140x + 12540(0 ≤ x ≤ 30 $，且 $ x $ 为整数)。
(2) 要使 $ W ≥ 16460 $，即 $ 140x + 12540 ≥ 16460 $，解得 $ x ≥ 28 $。
又
∵ $ 0 ≤ x ≤ 30 $，
∴ $ 28 ≤ x ≤ 30 $，且 $ x $ 为整数，
∴ 有 3 种不同的调运方案:① 当 $ x = 28 $ 时，从 $ A $ 城运往 $ C $ 乡 28 台，运往 $ D $ 乡 2 台，从 $ B $ 城运往 $ C $ 乡 6 台，运往 $ D $ 乡 34 台；② 当 $ x = 29 $ 时，从 $ A $ 城运往 $ C $ 乡 29 台，运往 $ D $ 乡 1 台，从 $ B $ 城运往 $ C $ 乡 5 台，运往 $ D $ 乡 35 台；③ 当 $ x = 30 $ 时，从 $ A $ 城运往 $ C $ 乡 30 台，运往 $ D $ 乡 0 台，从 $ B $ 城运往 $ C $ 乡 4 台，运往 $ D $ 乡 36 台。
(3)
∵ 从 $ A $ 城运往 $ C $ 乡的农机的运费每台减免 $ a $ 元，
∴ $ W = x(250 - a) + 200(30 - x) + 150(34 - x) + 240[40 - (34 - x)] = (140 - a)x + 12540 $。
∵ $ a ≤ 200 $，
∴ 需对 $ a $ 进行讨论。① 当 $ 0 ＜ a ＜ 140 $，即 $ 140 - a ＞ 0 $ 时，$ W $ 随 $ x $ 的增大而增大，当 $ x = 0 $ 时，$ W $ 取最小值，此时的方案为从 $ A $ 城运往 $ C $ 乡 0 台，运往 $ D $ 乡 30 台，从 $ B $ 城运往 $ C $ 乡 34 台，运往 $ D $ 乡 6 台；② 当 $ a = 140 $ 时，$ W = 12540 $ 为定值，此时 $ x $ 只需满足 $ 0 ≤ x ≤ 30 $，且 $ x $ 为整数即可，共有 31 种不同的方案，每种方案总费用一样；③ 当 $ 140 ＜ a ≤ 200 $，即 $ 140 - a ＜ 0 $ 时，$ W $ 随 $ x $ 的增大而减小，当 $ x = 30 $ 时，$ W $ 取最小值，此时的方案为从 $ A $ 城运往 $ C $ 乡 30 台，运往 $ D $ 乡 0 台，从 $ B $ 城运往 $ C $ 乡 4 台，运往 $ D $ 乡 36 台。