《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

1. 阅读下列材料,然后解决问题:
(1)如图①,在$\triangle ABC$中,若$AB = 12$,$AC = 8$,求$BC边上的中线AD$的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长$AD到点E$,使$DE = AD$,再连接$BE$,把$AB$,$AC$,$2AD集中在\triangle ABE$中. 利用三角形三边的关系即可判断中线$AD$的取值范围是____.
(2)问题解决:
如图②,在$\triangle ABC$中,$D是BC$边上的中点,$DE\perp DF于点D$,$DE交AB于点E$,$DF交AC于点F$,连接$EF$,求证:$BE + CF＞EF$.

答案：

(1) $2 ＜ AD ＜ 10$ 解析: $ \because AD $ 是 $ BC $ 边上的中线, $ \therefore BD = CD $. 在 $ \triangle BDE $ 和 $ \triangle CDA $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { B D = C D, } \\ { \angle B D E = \angle C D A, } \\ { D E = D A, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle B D E \cong \triangle C D A ( S A S ) $, $ \therefore B E = A C = 8 $. 在 $ \triangle A B E $ 中, 由三角形的三边关系, 得 $ A B - B E ＜ A E ＜ A B + B E $, $ \therefore 12 - 8 ＜ A E ＜ 12 + 8 $, 即 $ 4 ＜ A E ＜ 20 $, $ \therefore 2 ＜ AD ＜ 10 $. 故答案为 $ 2 ＜ AD ＜ 10 $.
(2) 如图, 延长 $ F D $ 至点 $ M $, 使 $ D M = D F $, 连接 $ B M $, $ E M $, 同
(1) 得 $ \triangle B M D \cong \triangle C F D ( S A S ) $, $ \therefore B M = C F $. $ \because D E \perp D F $, $ D M = D F $, 易得 $ E M = E F $. 在 $ \triangle B M E $ 中, 由三角形的三边关系, 得 $ B E + B M ＞ E M $, $ \therefore B E + C F ＞ E F $.

2. 如图,$CE$,$CB分别是\triangle ABC与\triangle ADC$的中线,且$\angle ACB = \angle ABC$. 求证:$CD = 2CE$.

答案：
如图, 过点 $ B $ 作 $ B F // A C $, 交 $ C E $ 的延长线于点 $ F $. $ \because C E $ 是 $ \triangle A B C $ 的中线, $ B F // A C $, $ \therefore A E = B E $, $ \angle B A C = \angle A B F $, $ \angle A C E = \angle F $. 在 $ \triangle A C E $ 和 $ \triangle B F E $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { \angle E A C = \angle E B F, } \\ { \angle A C E = \angle F, } \\ { A E = B E, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A C E \cong \triangle B F E ( A A S ) $, $ \therefore C E = E F $, $ A C = B F $, $ \therefore C F = 2 C E $. $ \because \angle A C B = \angle A B C $, 作 $ A G \perp B C $ 于点 $ G $, 易证 $ \triangle A C G \cong \triangle A B G $, $ \therefore A C = A B $. 又 $ C B $ 是 $ \triangle A D C $ 的中线, $ \therefore A C = A B = B D = B F $. $ \because \angle D B C = \angle B A C + \angle A C B = \angle A B F + \angle A B C $, $ \therefore \angle D B C = \angle F B C $. 在 $ \triangle D B C $ 和 $ \triangle F B C $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { D B = F B, } \\ { \angle D B C = \angle F B C, } \\ { B C = B C, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle D B C \cong \triangle F B C ( S A S ) $, $ \therefore C D = C F = 2 C E $.

3. 如图,五边形$ABCDE$中,$AB = AE$,$DA平分\angle CDE$,$\angle B + \angle E = 180^{\circ}$,求证:$BC + DE = CD$.

答案：
如图所示, 在 $ C D $ 上截取 $ J D = D E $, 连接 $ J A $, 过点 $ A $ 作 $ A I \perp C D $ 于 $ I $, $ A H \perp B C $ 于 $ H $, $ \therefore \angle A I J = \angle A H B = 90 ^ { \circ } $. $ \because D A $ 平分 $ \angle C D E $, $ \therefore \angle A D C = \angle A D E $. 在 $ \triangle A J D $ 与 $ \triangle A E D $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { J D = E D, } \\ { \angle A D C = \angle A D E, } \\ { A D = A D, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A J D \cong \triangle A E D ( S A S ) $, $ \therefore A E = A J $, $ \angle A J D = \angle E $. 又 $ A B = A E $, $ \therefore A B = A J $. $ \because \angle B + \angle E = 180 ^ { \circ } $, $ \angle A J D + \angle A J C = 180 ^ { \circ } $, $ \therefore \angle B = \angle A J C $. 在 $ \triangle A J I $ 与 $ \triangle A B H $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A I J = \angle A H B, } \\ { \angle A J I = \angle B, } \\ { A J = A B, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle A J I \cong \triangle A B H ( A A S ) $, $ \therefore A I = A H $, $ B H = I J $. 在 $ \mathrm { Rt } \triangle A I C $ 与 $ \mathrm { Rt } \triangle A H C $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { A I = A H, } \\ { A C = A C, } \end{array} \right. $ $ \therefore \mathrm { Rt } \triangle A I C \cong \mathrm { Rt } \triangle A H C ( \mathrm { HL } ) $, $ \therefore H C = I C $, $ \therefore B C + D E = B H + H C + D E = I J + C I + J D = C D $, 即 $ B C + D E = C D $.