《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

1. 已知,$△ADE和△ABC$都是等腰直角三角形,$∠ADE= ∠BAC= 90^{\circ }$,P 是 AE 的中点,连接 DP.
(1)如图①,点 A,B,D 在同一条直线上,则 DP 与 AE 的位置关系为____.
(2)将图①中的$△ADE$绕点 A 逆时针旋转,当 AD 落在图②所示的位置时,点 C,D,P 恰好在同一条直线上.
①在图②中,按要求补全图形,并证明$∠BAE= ∠ACP;$
②连接 BD,交 AE 于点 F.判断线段 BF 与 DF 的数量关系,并证明.

答案：

(1) 互相垂直
(2) ①补全图形如图①所示, 由
(1)知 $ DP \perp AE $, $ \therefore \angle APC = 90^\circ $, $ \therefore \angle ACP + \angle CAE = 90^\circ $. $ \because \angle BAC = 90^\circ $, $ \therefore \angle BAE + \angle CAE = 90^\circ $, $ \therefore \angle BAE = \angle ACP $.
　　　　　
② $ BF = DF $. 理由如下: 作 $ BG \perp AE $ 于点 $ G $, 如图②, 则 $ \angle AGB = \angle APC = 90^\circ $. 由①知 $ \angle BAE = \angle ACP $. $ \because AB = AC $, $ \therefore \triangle ABG \cong \triangle CAP (AAS) $. $ \therefore BG = AP $. $ \because \angle ADE = 90^\circ $, 点 $ P $ 是 $ AE $ 的中点, $ \therefore PD = AP = \frac{1}{2}AE $, $ \therefore PD = BG $. $ \because \angle DPE = \angle AGB = 90^\circ $, $ \angle DFP = \angle BFG $, $ \therefore \triangle DFP \cong \triangle BFG (AAS) $, $ \therefore BF = DF $.

2. (黑龙江中考)$△ABC和△ADE$都是等边三角形.
(1)将$△ADE$绕点 A 旋转到图①的位置时,连接 BD,CE 并延长相交于点 P(点 P 与点 A 重合),有$PA+PB= PC$(或$PA+PC= PB$)成立,请证明.
(2)将$△ADE$绕点 A 旋转到图②的位置时,连接 BD,CE 相交于点 P,连接 PA,猜想线段 PA,PB,PC 之间有怎样的数量关系? 并加以证明.
(3)将$△ADE$绕点 A 旋转到图③的位置时,连接 BD,CE 相交于点 P,连接 PA,猜想线段 PA,PB,PC 之间有怎样的数量关系? 直接写出结论,不需要证明.

答案：

(1) $ \because \triangle ABC $ 是等边三角形, $ \therefore AB = AC $. $ \because $ 点 $ P $ 与点 $ A $ 重合, $ \therefore PB = AB $, $ PC = AC $, $ PA = 0 $, $ \therefore PA + PB = PC $ 或 $ PA + PC = PB $.
(2) $ PB = PA + PC $, 证明如下: 在 $ BP $ 上截取 $ BF = CP $, 连接 $ AF $, 如图①, $ \because \triangle ABC $ 和 $ \triangle ADE $ 都是等边三角形, $ \therefore AB = AC $, $ AD = AE $, $ \angle BAC = \angle DAE = 60^\circ $, $ \therefore \angle BAC + \angle CAD = \angle DAE + \angle CAD $, $ \therefore \angle BAD = \angle CAE $, $ \therefore \triangle BAD \cong \triangle CAE (SAS) $, $ \therefore \angle ABD = \angle ACE $. $ \because AC = AB $, $ CP = BF $, $ \therefore \triangle CAP \cong \triangle BAF (SAS) $, $ \therefore \angle CAP = \angle BAF $, $ AF = AP $, $ \therefore \angle CAP + \angle CAF = \angle BAF + \angle CAF $, $ \therefore \angle FAP = \angle BAC = 60^\circ $, $ \therefore \triangle AFP $ 是等边三角形, $ \therefore PF = AP $, $ \therefore PA + PC = PF + BF = PB $.
　　　　　 　　　
(3) $ PA + PB = PC $. 解析: 在 $ CP $ 上截取 $ CF = BP $, 连接 $ AF $, 如图②, $ \because \triangle ABC $ 和 $ \triangle ADE $ 都是等边三角形, $ \therefore AB = AC $, $ AD = AE $, $ \angle BAC = \angle DAE = 60^\circ $, $ \therefore \angle BAC + \angle BAE = \angle DAE + \angle BAE $, $ \therefore \angle BAD = \angle CAE $, $ \therefore \triangle BAD \cong \triangle CAE (SAS) $, $ \therefore \angle ABD = \angle ACE $. $ \because AB = AC $, $ BP = CF $, $ \therefore \triangle BAP \cong \triangle CAF (SAS) $, $ \therefore \angle CAF = \angle BAP $, $ AP = AF $, $ \therefore \angle BAF + \angle BAP = \angle BAF + \angle CAF $, $ \therefore \angle FAP = \angle BAC = 60^\circ $, $ \therefore \triangle AFP $ 是等边三角形, $ \therefore PF = AP $, $ \therefore PA + PB = PF + CF = PC $, 即 $ PA + PB = PC $.