《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

9. 新题型 新定义 在平面直角坐标系xOy中,直线l为第一、三象限角平分线,点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点,记作$P_{1};P_{1}$关于直线l的对称点称为点P的二次反射点,记作$P_{2}$.例如,点$(-2,5)的一次反射点为(2,5)$,二次反射点为$(5,2)$.根据定义,回答下列问题:

(1)点$(3,4)$的一次反射点为____,二次反射点为____;
(2)当点A在第三象限时,点$M(-4,1),N(3,-1),Q(-1,-5)$中可以是点A的二次反射点的是____;
(3)若点A在第二象限,点$A_{1},A_{2}$分别是点A的一次、二次反射点,$∠A_{1}OA_{2}= 50^{\circ }$,求射线OA与x轴所夹锐角的度数.

答案：

(1)$(-3,4)$ $(4,-3)$
(2)$M(-4,1)$ 解析:
∵ 点A在第三象限,
∴ 一次反射点在第四象限,二次反射点在第二象限,
∴ 点$M(-4,1),N(3,-1),Q(-1,-5)$中可以是点A的二次反射点的是$M(-4,1).$
(3)如图,$\because ∠A_{1}OA_{2}=50^{\circ },\therefore OA_{1}$与x轴的夹角为$20^{\circ }$或$70^{\circ }$,根据对称性可知,OA与x轴所夹锐角的度数为$20^{\circ }$或$70^{\circ }.$

10. (2025·兰州期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点$M(m,n)$,过点$(m,0)$且垂直于x轴的直线记为直线$x= m$,过点$(0,n)$且垂直于y轴的直线记为直线$y= n$.给出如下定义:将图形G关于直线$x= m对称得到图形G_{1}$,再将图形$G_{1}关于直线y= n对称得到图形G_{2}$,则称图形$G_{2}$是图形G关于点M的双对称图形.
(1)已知点M的坐标为$(0,1)$,点$N(2,3)$关于点M的双对称图形点$N_{2}$的坐标为____.
(2)如图,$△ABC的顶点坐标是A(-2,3),B(-4,1),C(0,1)$.
①已知点M的坐标是$(1,-1)$,写出点A,B,C关于M的双对称图形点的坐标$A_{2}$____,$B_{2}$____,$C_{2}$____;
②已知点M的坐标为$(1,-1)$,点$P(4,n)$,点$Q(4,n+1)$,线段PQ关于点M的双对称图形线段$P_{2}Q_{2}位于△ABC$内部(不含三角形的边),求n的取值范围.

答案：

(1)$(-2,-1)$
(2)①$(4,-5)$ $(6,-3)$ $(2,-3)$
②如图,$\because M(1,-1)$,
∴ 两条对称轴分别为直线$x=1$和直线$y=-1$,点$P(4,n),Q(4,n+1)$关于直线$x=1$的对称点分别为$P_{1}(-2,n),Q_{1}(-2,n+1)$,点$P_{1}(-2,n),Q_{1}(-2,n+1)$关于直线$y=-1$的对称点分别为$P_{2}(-2,-2-n),Q_{2}(-2,-3-n),\therefore P_{2}Q_{2}$在直线$x=-2$上,若$P_{2}Q_{2}$位于$△ABC$内部,则需要满足$\left\{\begin{array}{l} -2-n＜3\\ -3-n＞1\end{array}\right. ,\therefore -5＜n＜-4.$