《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

8. 改编题 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AD \perp BC $, 且 $ AD = 5 cm $, $ BC = 7 cm $, 点 P 是线段 BC 上一个动点,由 B 向 C 以 2 cm/s 的速度移动,运动至点 C 停止,随着点 P 的运动, $ \triangle APC $ 的面积 S 也发生了变化.
(1) 在这个变化过程中,变量是____,常量是____.
(2) 若设点 P 的运动时间为 x,则 $ \triangle APC $ 的面积 S 与点 P 的运动时间 x 之间的关系式为____(需写出 x 的取值范围).

答案：
(1)边 BP 的长度、$\triangle APC$的面积 S AD 的长度
(2)$S = - 5x + \frac{35}{2}(0 \leq x \leq \frac{7}{2})$ 解析:
∵$AD \perp BC$,且$AD = 5cm$,$BC = 7cm$,
∴$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AD = \frac{35}{2}$;$S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}BP \cdot AD = \frac{1}{2} \times 2x \times 5 = 5x$,
∴$S = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle ABP} = \frac{35}{2} - 5x$,
∴$\triangle APC$的面积 S 与点 P 的运动时间 x 之间的关系式为$S = - 5x + \frac{35}{2}(0 \leq x \leq \frac{7}{2})$.

9. (2024·青海中考改编)如图是由火柴棒摆成的图案,其中第 1 个图案中有 3 根火柴棒,第 2 个图案中有 5 根火柴棒,第 3 个图案中有 7 根火柴棒,按此规律排列下去……

(1) 第 9 个图案中火柴棒的根数为____;
(2) 设第 n 个图案中火柴棒的根数为 m,按上述规律推断,则 m 与 n 之间的关系可以用式子表示为____.

答案：
(1)19
(2)$m = 2n + 1$ 解析:根据题意得第 1 个题图中有$3 = 1 + 2$根火柴棒,第 2 个题图中有$5 = (1 + 2 \times 2)$根火柴棒,第 3 个题图中有$7 = (1 + 2 \times 3)$根火柴棒,…,第 n 个题图中有$(1 + 2n)$根火柴棒,则 m 与 n 之间的关系可以用式子表示为$m = 2n + 1$.

10. 5G 开通了,某通信公司公布了收费标准,其中包月费 129 元时,超出部分国内拨打电话费 0.15 元/分. 由于业务多,小明的爸爸打电话已经超出了包月费. 如表是超出部分国内拨打电话费的收费标准.

(1) 这个表反映了哪两个变量之间的关系? 哪个是自变量?
(2) 如果用 x 表示国内拨打超出时间,y 表示国内拨打超出部分的电话费,那么 y 与 x 的关系式是什么?
(3) 如果国内拨打电话超出 10 分钟,需多付多少电话费?
(4) 某次超出部分国内拨打电话的费用是 5.4 元,那么小明的爸爸国内拨打电话超出几分钟?

答案：
(1)由题意和表格可知,这个表反映了超出时间与超出部分的电话费之间的关系.
∵超出部分的电话费随着超出时间的变化而变化,
∴超出时间是自变量.
(2)
∵超出部分国内拨打电话费为 0.15 元/分,
∴$y = 0.15x$.
(3)当$x = 10$时,$y = 0.15 \times 10 = 1.5$,
∴国内拨打电话超出 10 分钟,需多付 1.5 元电话费.
(4)当$y = 5.4$时,$0.15x = 5.4$,解得$x = 36$,
∴小明的爸爸国内拨打电话超出 36 分钟.

11. 如图,等腰直角 $ \triangle ABC $ 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 12 cm, AC 与 MN 在同一条直线上,开始时 A 点与 M 点重合,当 $ \triangle ABC $ 向右运动时(A 点与 N 点重合时运动停止),重叠部分的面积发生了变化.
(1) 指出在这个运动过程中的常量和变量;
(2) 试写出重叠部分的面积 $ y(cm^2) $ 与 MA 的长度 $ x(cm) $ 之间的关系式;
(3) 当 $ MA = 4 cm $ 时,重叠部分的面积是多少?

答案：
(1)常量是等腰直角$\triangle ABC$的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 12 cm;变量为重叠部分的面积与 MA,MC,DM,AN,DQ,AD,BD 的长度.
(2)$y = \frac{1}{2}x^{2}$,其中$0 \leq x \leq 12$.
(3)当$x = 4$时,$y = \frac{1}{2} \times 4^{2} = 8$,即当$MA = 4cm$时,重叠部分的面积是$8cm^{2}$.