《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

7. (2025·咸宁期中)如图,线段$AD是\triangle ABC$的中线,线段$BE是\triangle ABD$的中线,$EF⊥BC于点F$.若$S_{\triangle ABC}= 12,BD= 3$,则$EF$的长为 ()

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B 解析: 因为线段 AD 是 △ABC 的中线, 所以 $S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$, 因为 $S_{△ABC}=12$, 所以 $S_{△ABD}=6$, 因为线段 BE 是 △ABD 的中线, 所以 $S_{△BDE}=S_{△BAE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=3$, 所以 $\frac{1}{2}BD\cdot EF = 3$, 所以 $\frac{1}{2}\times3\times EF = 3$, 所以 EF = 2. 故选 B.

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的高,$AE,BF分别是∠BAC,∠ABC$的平分线,$∠BAC= 50^{\circ },∠ABC= 60^{\circ }$,则$∠EAD+∠ABF= $ ()

A. $35^{\circ }$
B. $40^{\circ }$
C. $45^{\circ }$
D. $50^{\circ }$

答案：
A 解析:
∵ AD 是 BC 边上的高,
∴ ∠ADB = 90°.
∵ ∠ABC = 60°,
∴ ∠BAD = 180° - ∠ADB - ∠ABC = 30°.
∵ ∠BAC = 50°, AE 平分 ∠BAC,
∴ ∠BAE = 25°,
∴ ∠DAE = 30° - 25° = 5°.
∵ BF 是 ∠ABC 的平分线,
∴ $∠ABF = \frac{1}{2}∠ABC = 30°$,
∴ ∠EAD + ∠ABF = 35°, 故选 A.
归纳总结
高与角平分线模型的两种常见场景:
| 模型 | 结论 |
| --- | --- |
| 已知: AD 为角平分线, AE 为高, ∠C ＞ ∠B | $∠DAE = \frac{1}{2}(∠C - ∠B)$ |
| 已知: AD 为角平分线, 点 P 在 AD 的延长线上且 PE⊥BC 于 E, ∠C ＞ ∠B | $∠P = \frac{1}{2}(∠C - ∠B)$ |

9. (1)$AD是\triangle ABC$的一条高,若$∠BAD= 65^{\circ },∠CAD= 30^{\circ }$,则$∠BAC= $____.
(2)在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,一腰上的中线$BD$把三角形的周长分为9 cm和12 cm两部分,则此三角形的腰长是____.

答案：

(1) 95°或 35° 解析: 如图①, 当 AD 在 △ABC 的内部时, ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 65° + 30° = 95°;
当 AD 在 △ABC 的外部时, 如图②, ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 65° - 30° = 35°.
　　
(2) 8 cm 或 6 cm 解析: 根据题意画出图形如图③, 设等腰三角形的腰长 AB = AC = 2x cm, BC = y cm, 因为 BD 是腰上的中线, 所以 AD = DC = x cm. 若 AB + AD 的长为 12 cm, 则 2x + x = 12, 解得 x = 4, 则 x + y = 9, 即 4 + y = 9, 解得 y = 5, 此时腰长为 8 cm; 若 AB + AD 的长为 9 cm, 则 2x + x = 9, 解得 x = 3, 则 x + y = 12, 即 3 + y = 12, 解得 y = 9, 此时腰长为 6 cm. 所以此三角形的腰长为 8 cm 或 6 cm.

10. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$BD= CD,AE= 2BE$,连接$AD,CE相交于点O$,若$\triangle ABC$的面积为24,则$\triangle AOE与\triangle COD$的面积之差

为____.

答案： 4 解析: 因为 BD = CD, $S_{△ABC}=24$, 所以 $S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=12$. 又因为 AE = 2BE, $S_{△ABC}=24$, 所以 $S_{△AEC}=\frac{2}{3}S_{△ABC}=\frac{2}{3}\times24 = 16$. 因为 $S_{△ACD}=S_{△AOC}+S_{△COD}=12$ ①, $S_{△AEC}=S_{△AOC}+S_{△AOE}=16$ ②, 所以由② - ①, 得 $S_{△AOE}-S_{△COD}=16 - 12 = 4$.

11. 如图,已知长方形$ABCD$中,$AD= 10cm,DC= 6cm$,点$F是DC$的中点,点$E从A点出发在AD$上以每秒1 cm的速度向$D$点运动,运动时间设为$t$秒.(假定$0＜t＜10$)
(1)用含$t$的式子表示阴影部分的面积;并求出当三角形$EDF的面积等于3cm^{2}$时,阴影部分的面积是多少.
(2)过点$E作EG// AB交BF于点G$,过点$F作FH// BC交BE于点H$,请写出在点$E$运动过程中,$EG和FH$的数量关系.

答案：
(1) 由题意得 AE = t cm, DE = (10 - t) cm, 因为 $S_{△BEF}=S_{长方形ABCD}-S_{△ABE}-S_{△BCF}-S_{△DEF}=10\times6 - \frac{1}{2}\times6t - \frac{1}{2}\times10\times3 - \frac{1}{2}\times3\times(10 - t)=60 - 3t - 15 - 15 + \frac{3t}{2}=30 - \frac{3t}{2}$, 所以用含 t 的式子表示阴影部分的面积为 $(30 - \frac{3t}{2}) cm^2$. 当三角形 EDF 的面积等于 3 cm² 时, $S_{△EDF}=\frac{1}{2}DE\cdot DF=\frac{1}{2}\times3\times(10 - t)=3$, 解得 t = 8. 当 t = 8 时, $S_{阴影}=30 - \frac{3\times8}{2}=18 (cm^2)$.
(2) 5EG = 3FH. 解析: 本题可尝试用“等面积”法(若两个三角形的高(或底)相同, 则它们的面积比等于对应底边(或高)的比)求出在点 E 运动过程中 EG 和 FH 的数量关系. 长方形 ABCD 中有 AD⊥CD, AB//CD, AD//BC, 因为 EG//AB, FH//BC, 所以 EG⊥HF, AD⊥EG, CD⊥HF, 所以 DE, AE 分别等于 △EGF, △EGB 的 EG 边上的高, DF, CF 分别等于 △EHF, △BHF 的 FH 边上的高, 所以 $S_{△BEF}=\frac{1}{2}EG\cdot DE+\frac{1}{2}EG\cdot AE=\frac{1}{2}HF\cdot DF+\frac{1}{2}HF\cdot CF$, 所以 $\frac{1}{2}EG\cdot(DE + AE)=\frac{1}{2}HF\cdot(DF + CF)$, 即 EG·AD = HF·CD. 因为 AD = 10 cm, DC = 6 cm, 所以 10EG = 6HF, 即 5EG = 3FH.

12. (2025·汕头校级月考)如图,在$\triangle ABC$中,$AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D.∠ABD的平分线BF所在直线与射线AE相交于点G$,若$∠ABC= 2∠C$,且$∠G= 25^{\circ }$,则$∠DFB$的度数是 ()

A. $55^{\circ }$
B. $65^{\circ }$
C. $70^{\circ }$
D. $50^{\circ }$

答案： D 解析: 设 ∠CAE = α,
∵ AE 平分 ∠BAC,
∴ ∠BAE = ∠CAE = α, ∠BAC = 2∠CAE = 2α.
∵ ∠ABD 是 △ABC 的外角,
∴ ∠ABD = ∠BAC + ∠C = 2α + ∠C.
∵ BF 平分 ∠ABD,
∴ ∠ABF = ∠DBF = $\frac{1}{2}∠ABD = α + \frac{1}{2}∠C$.
∵ ∠ABF 是 △ABG 的外角, ∠G = 25°,
∴ ∠ABF = ∠BAE + ∠G = α + 25°,
∴ $α + \frac{1}{2}∠C = α + 25°$,
∴ ∠C = 50°,
∴ ∠ABC = 2∠C = 100°,
∴ ∠ABD = 180° - ∠ABC = 80°,
∴ $∠DBF = \frac{1}{2}∠ABD = 40°$.
∵ AD⊥BC,
∴ ∠ADB = 90°,
∴ ∠DFB = 90° - ∠DBF = 90° - 40° = 50°, 故选 D.

13. 新考法 如图所示,点$C为直线AB$外一动点,$AB= 6$,连接$CA,CB$,点$D,E分别是AB,BC$的中点,连接$AE,CD交于点F$,当四边形$BEFD$的面积为5时,线段$AC$长度的最小值为____.

答案： 5 解析: 如图, 连接 BF, 过 C 点作 CH⊥AB 于 H. 因为 D, E 分别是 AB, BC 的中点, 所以 $S_{△ABE}=S_{△ACE}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=S_{△ADC}=S_{△BDC}$, $S_{△AFD}=S_{△BFD}$, $S_{△CEF}=S_{△BEF}$, 所以 $S_{△CEF}+S_{四边形BDFE}=S_{△CEF}+S_{△ACF}$, $S_{△AFD}+S_{△CEF}=S_{△BEF}+S_{△BFD}=S_{四边形BDFE}=5$, 所以 $S_{四边形BDFE}=S_{△ACF}=5$. 所以 $S_{△ABC}=S_{△ACF}+S_{四边形BDFE}+S_{△AFD}+S_{△CEF}=15$, 所以 $\frac{1}{2}CH\cdot AB = 15$, 所以 CH = 5. 因为点到直线的距离中, 垂线段最短, 所以 AC ≥ CH = 5, 所以 AC 的最小值为 5.
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