《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

3. 如图,在四边形ABCD中,$∠B= ∠C,AB= 20cm,BC= 15cm$,点E为AB的中点,如果点P在线段BC上以5 cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CD上由点C向点D运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1s后,$△BPE与△CQP$是否全等?请说明理由.
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,某时刻能够使$△BPE与△CQP$全等?

答案：
(1) $ \triangle BPE $ 与 $ \triangle CQP $ 全等。理由如下：$\because $ 点 $ E $ 为 $ AB $ 的中点，$ AB = 20 \text{ cm} $，$\therefore BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 20 = 10 (\text{cm}) $。$\because $ 点 $ P $，$ Q $ 的速度都是 $ 5 \text{ cm/s} $，$\therefore $ 经过 $ 1 \text{ s} $ 后，$ BP = 5 \text{ cm} $，$ PC = BC - BP = 15 - 5 = 10 (\text{cm}) $，$ CQ = 5 \text{ cm} $。在 $ \triangle BPE $ 与 $ \triangle CQP $ 中，$\begin{cases} BE = CP, \\ \angle B = \angle C, \\ BP = CQ, \end{cases}$ $\therefore \triangle BPE \cong \triangle CQP (SAS) $。
(2) $ \triangle BPE $ 与 $ \triangle CQP $ 全等时，① 若 $ CQ = BE = 10 \text{ cm} $，则 $ BP = CP = 7.5 \text{ cm} $，点 $ Q $ 的运动速度为 $ v_Q = 10 \div (7.5 \div 5) = \frac{20}{3} (\text{cm/s}) $；② 若 $ CP = BE = 10 \text{ cm} $，$ BP = CQ = 5 \text{ cm} $，点 $ Q $ 的运动速度为 $ v_Q = 5 \div (5 \div 5) = 5 (\text{cm/s}) $。$\because $ 点 $ Q $ 的运动速度与点 $ P $ 的运动速度不相等，$\therefore v_Q = 5 \text{ cm/s} $ 舍去，$\therefore $ 点 $ Q $ 的运动速度为 $ \frac{20}{3} \text{ cm/s} $ 时，能够使 $ \triangle BPE $ 与 $ \triangle CQP $ 全等。

4. (2024·镇江期中)如图,AE与BD相交于点C,$AC= EC,BC= DC,AB= 4cm$,点P从点A出发,沿$A→B→A$方向以3 cm/s的速度运动,点Q从点D出发,沿$D→E$方向以1 cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发.当点P到达点A时,P,Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为$t(s).$
(1)求证:$AB// DE;$
(2)写出线段AP的长(用含t的式子表示);
(3)连接PQ,当线段PQ经过点C时,求t的值.

答案：

(1) 在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle EDC $ 中，$\begin{cases} AC = EC, \\ \angle ACB = \angle ECD, \\ BC = DC, \end{cases}$ $\therefore \triangle ABC \cong \triangle EDC (SAS)$，$\therefore \angle A = \angle E $，$ AB = DE = 4 \text{ cm} $，$\therefore AB // DE $。
(2) 当 $ 0 \leq t \leq \frac{4}{3} $ 时，$ AP = 3t \text{ cm} $；当 $ \frac{4}{3} ＜ t \leq \frac{8}{3} $ 时，$ BP = (3t - 4) \text{ cm} $，则 $ AP = 4 - (3t - 4) = (8 - 3t) \text{ cm} $。
(3) 如图，由
(1) 得，$ \angle A = \angle E $，$ ED = AB = 4 \text{ cm} $，在 $ \triangle ACP $ 和 $ \triangle ECQ $ 中，$\begin{cases} \angle A = \angle E, \\ AC = EC, \\ \angle ACP = \angle ECQ, \end{cases}$ $\therefore \triangle ACP \cong \triangle ECQ (ASA)$，$\therefore AP = EQ $。当 $ 0 \leq t \leq \frac{4}{3} $ 时，$ 3t = 4 - t $，解得 $ t = 1 $；当 $ \frac{4}{3} ＜ t \leq \frac{8}{3} $ 时，$ 8 - 3t = 4 - t $，解得 $ t = 2 $。综上所述，当线段 $ PQ $ 经过点 $ C $ 时，$ t $ 的值为 1 或 2。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

5. (2025·无锡期中)如图①,$AB= 4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC= BD= 3cm$.点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为$t(s).$
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当$t= 1$时,$△ACP与△BPQ$是否全等? 请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系.
(2)如图②,将图①中的“$AC⊥AB,BD⊥AB$”改为“$∠CAB= ∠DBA= 60^{\circ }$”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在x,使得$△ACP与△BPQ$全等? 若存在,求出相应的x,t的值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) $ \triangle ACP \cong \triangle BPQ $，且 $ PC \perp PQ $。理由如下：当 $ t = 1 $ 时，$ AP = BQ = 1 \text{ cm} $，$ BP = AC = 3 \text{ cm} $。$\because AC \perp AB $，$ BD \perp AB $，$\therefore \angle A = \angle B = 90^\circ $。在 $ \triangle ACP $ 和 $ \triangle BPQ $ 中，$\begin{cases} AP = BQ, \\ \angle A = \angle B, \\ AC = BP, \end{cases}$ $\therefore \triangle ACP \cong \triangle BPQ (SAS)$，$\therefore \angle ACP = \angle BPQ $，$\therefore \angle APC + \angle BPQ = \angle APC + \angle ACP = 90^\circ $，$\therefore \angle CPQ = 90^\circ $，即 $ PC \perp PQ $。
(2) 存在满足条件的 $ x $ 值及相应的 $ t $ 值。① 若 $ \triangle ACP \cong \triangle BPQ $，则 $ AC = BP $，$ AP = BQ $。可得 $ \begin{cases} 3 = 4 - t, \\ t = xt, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} t = 1, \\ x = 1. \end{cases} $ ② 若 $ \triangle ACP \cong \triangle BQP $，则 $ AC = BQ $，$ AP = BP $，可得 $ \begin{cases} 3 = xt, \\ t = 4 - t. \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} t = 2, \\ x = 1.5. \end{cases} $ 综上所述，存在 $ t = 1 $，$ x = 1 $ 或 $ t = 2 $，$ x = 1.5 $，使得 $ \triangle ACP $ 与 $ \triangle BPQ $ 全等。