《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

8. 如图,在平面直角坐标系中,将正方形$OABC绕点O逆时针旋转45^{\circ}后得到正方形OA_{1}B_{1}C_{1}$,依此方式,绕点$O连续旋转2025次得到正方形OA_{2025}B_{2025}C_{2025}$,如果点$A的坐标为(1,0)$,那么点$B_{2025}$的坐标为____.

答案：
$(0, \sqrt{2})$ 解析：如图，$\because$ 四边形 $O A B C$ 是正方形，且 $O A=1, \therefore B(1,1)$. 连接 $O B$，由勾股定理得，$O B=\sqrt{2}$. 由旋转得，$O B=O B_{1}=O B_{2}=O B_{3}=\cdots=\sqrt{2} \cdot \because$ 将正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $45^{\circ}$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$，相当于将线段 $O B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $45^{\circ}$，依次得到 $\angle A O B=\angle B O B_{1}=\angle B_{1} O B_{2}=\cdots=45^{\circ}, \therefore B_{1}(0, \sqrt{2}), B_{2}(-1,1)$，$B_{3}(-\sqrt{2}, 0), B_{4}(-1,-1), B_{5}(0,-\sqrt{2}), B_{6}(1,-1), B_{7}(\sqrt{2}, 0), \cdots$，发现是 8 次一循环，$2025 \div 8=253 \cdots \cdots 1, \therefore$ 点 $B_{2025}$ 的坐标为 $(0, \sqrt{2})$.

9. 如图,弹性小球从点$P(0,1)$出发,沿如图所示方向运动,每当小球碰到正方形$DABC$的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第$1次碰到正方形的边时的点为P_{1}(-2,0)$,第$2次碰到正方形的边时的点为P_{2}$,…$$,第$n次碰到正方形的边时的点为P_{n}$,则点$P_{2026}$的坐标是____.

答案：
$(-2,4)$ 解析：如图，根据反射角等于入射角画图，可知小球从 $P_{2}$ 反弹后到 $P_{3}(0,3)$，再反弹到 $P_{4}(-2,4)$，再反弹到 $P_{5}(-4,3)$，再反弹到 $P(0,1)$ 之后，再循环反弹，每 6 次一循环. $\because 2026 \div 6=337 \cdots \cdots 4$，$\therefore$ 点 $P_{2026}$ 的坐标是 $(-2,4)$.

10. 已知整点(横、纵坐标都是整数)$P_{0}$在平面直角坐标系内做“跳马运动”(即中国象棋“日”字型跳跃).例如在图①中,从点$A$做一次“跳马运动”,可以到点$B$,也可以到达点$C$.设$P_{0}$做一次“跳马运动”到点$P_{1}$,做第二次“跳马运动”到点$P_{2}$,做第三次“跳马运动”到点$P_{3}$,…$$,如此依次进行.
(1)若$P_{0}(1,0)$,则$P_{1}$可能是下列的点____.
$D(-1,2)$;$E(-2,0)$;$F(0,2)$.
(2)已知点$P_{0}(4,2)$,$P_{2}(1,3)$,则点$P_{1}$的所有可能坐标为____.
(3)若$P_{0}(0,0)$,则$P_{12}$,$P_{13}可能与P_{0}$重合的是____.
(4)如图②,点$P_{0}(1,0)沿x$轴正方向向右上方做“跳马运动”,若$P_{0}跳到Q_{1}$位置,称为做一次“正横跳马”;若$P_{0}跳到Q_{2}$位置,称为做一次“正竖跳马”.当点$P_{0}连续做了a$次“正横跳马”和$b$次“正竖跳马”后,到达点$P_{n}(14,11)$,求$a + b$的值.

答案：
(1) $F(0,2)$
(2) $(2,1)$ 或 $(3,4)$ 解析：$P_{0}$ 至 $P_{2}$ 经过两次运动，则有 2 种情况，一种为横坐标变化 2 个单位，纵坐标变化 1 个单位；另一种为横坐标变化 1 个单位，纵坐标变化 2 个单位，$\therefore P_{1}$ 可能为 $(2,1)$ 或 $(3,4)$.
(3) $P_{12}$
(4) 做“正横跳马”时，横坐标增加 2，纵坐标增加 1，做“正竖跳马”时，横坐标增加 1，纵坐标增加 2，$\therefore\left\{\begin{array}{l}2 a+b=14-1, \\ a+2 b=11-0,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=5, \\ b=3,\end{array}\right. \therefore a+b=8$.