《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

16. (2025·上海期末)如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ}$,点D,E分别在边AB,BC上,$AC= AD,DF⊥AB,AE= AF$,且$EF⊥BC$.
(1)求证:$CE= DF$;
(2)连接CF,如果$∠ACF= ∠ABF$.求证:点F在BC的垂直平分线上.

答案： 16.
(1)
∵DF⊥AB,∠ACB=90°,
∴△ADF,△ACE是直角三角形,在Rt△ACE和Rt△ADF中,{AE=AF,AC=AD,...Rt△ACE≌Rt△ADF(HL),
∴CE=DF;
(2)
∵EF⊥BC,DF⊥AB,
∴∠CEF=90°,∠BDF=90°,
∴∠BFD+∠ABF=90°.又
∵∠ACB=∠ACF+∠ECF=90°,∠ACF=∠ABF,
∴∠BFD=∠ECF,在△FCE和△BFD中,{∠ECF=∠DFB,CE=FD,∠CEF=∠FDB=90°,
∴△FCE≌△BFD(ASA),
∴FC=FB.又
∵EF⊥BC,
∴点F在BC的垂直平分线上.

17. 新趋势 项目式学习(2024·临汾期末)已知:如图①,$MN⊥AB$,垂足为点C,$AC= BC$,点P是直线MN上任意一点.
求证:$PA= PB$.
分析:图①中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证得$PA= PB$.
(1)请结合以上分析,利用图①写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.
(2)定理应用:如图②,在$△ABC$中,$AB= AC$,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB,若$AB= 10cm,△MBC$的周长是18cm.
①求BC的长.
②点P是直线MN上一动点,在运动的过程中,$△PBC$的周长是否存在最小值? 若存在,标出点P的位置,并求出此时$△PBC$的周长;若不存在,说明理由.

答案：
17.
(1)
∵MN⊥AB,
∴∠ACP=∠BCP=90°.在△ACP和△BCP中,{AC=BC,∠ACP=∠BCP,PC=PC,
∴△ACP≌△BCP(SAS),
∴PA=PB.
(2)①
∵MN垂直平分AB,
∴MB=MA,
∵△MBC的周长是18cm,
∴MB+MC+BC=MA+MC+BC=AC+BC=18cm.
∵AC=AB=10cm,
∴BC=8cm.
②存在如图所示,
∵AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,
∴PA=PB,
∴△PBC的周长=PB+PC+BC=PA+PC+BC,
∴当A,P,C三点共线即点P与点M重合时,PA+PC的值最小,即此时△PBC的周长最小,最小值为PA+PC+8=AC+8=18cm.