《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

1. 在如图所示的 $ 3 × 3 $ 网格中,$ \triangle ABC $ 是格点三角形(即顶点恰好是网格线的交点),请画出与 $ \triangle ABC $ 有一条公共边且全等(不含 $ \triangle ABC $)的所有格点三角形。

答案：
如图，$\triangle DBC$，$\triangle ECB$，$\triangle FCB$，$\triangle BAG$即为所求。

2. (2025·南京期末)如图,在正方形网格中,每个小正方形的顶点叫作格点。已知点 $ A $,$ B $,$ C $ 均在格点上。
(1)仅用无刻度的直尺在网格中画 $ AD // BC $,画 $ BE \perp AD $,垂足为 $ E $；
(2)比较大小：$ BE $______ $ AB $,理由是______；
(3)点 $ F $ 在射线 $ BC $ 上,请用无刻度的直尺和圆规作直线 $ FG // AB $(保留作图痕迹,不写作法)。

答案：

(1) 如图①所示，$AD$，$BE$即为所求。

解析：如图②，取格点$G$，$H$，$I$，则格点$M$，$D$在格线$GH$上，设格线$IB$交$AD$于点$N$，由题意得$\angle AGD=\angle CIB=90^{\circ}$，$IN// GH$，$\therefore \angle ADG=\angle DNI$。$\because DG=BI=2$，$AG=CI=3$，$\therefore \triangle ADG\cong \triangle CBI$，$\therefore \angle ADG=\angle CBI=\angle DNB$，$\therefore AD// BC$。同理可得$\triangle ADG\cong \triangle MBH$，$\therefore \angle BMH=\angle GAD$。$\because \angle AGD=90^{\circ}$，$\therefore \angle ADG+\angle GAD=\angle ADG+\angle BMH=90^{\circ}$，$\therefore \angle MED=90^{\circ}$，$\therefore BE\perp AD$，$\therefore AD$，$BE$即为所求。

(2) ＜ 垂线段最短
(3) 如图③，$FG$即为所求。

3. (赤峰中考)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^\circ $,且 $ AC = AD $。
(1)作 $ \angle BAC $ 的平分线,交 $ BC $ 于点 $ E $；(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接 $ DE $,证明：$ AB \perp DE $。

答案：

(1) 如图，$AE$为$\angle BAC$的平分线。
(2) 如图，连接$DE$，由
(1)知$\angle CAE=\angle DAE$，在$\triangle ACE$和$\triangle ADE$中，$\left\{\begin{array}{l} AC=AD,\\ \angle CAE=\angle DAE,\\ AE=AE,\end{array}\right. $ $\therefore \triangle ACE\cong \triangle ADE(SAS)$，$\therefore \angle ACE=\angle ADE$。又$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\therefore \angle ADE=90^{\circ}$，$\therefore AB\perp DE$。

4. 新趋势 项目式学习(2024·海安月考)通过“探索三角形全等的条件”的学习,大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实,可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等。下面请你来探究。
探究：已知：$ \triangle ABC $。
求作：$ \triangle DEF $,使 $ EF = BC $,$ \angle E = \angle B $,$ DF = AC $(即两边和其中一边所对的角分别相等)。
(1)实践与操作：请依据下面的步骤,用尺规完成作图过程。(保留作图痕迹)
①画 $ EF = BC $；②在线段 $ EF $ 的上方画 $ \angle E = \angle B $；③画 $ DF = AC $；④顺次连接相应顶点得所求三角形。
(2)观察与小结：观察你画的图形,你会发现满足条件的三角形有______个；其中三角形______(填三角形的名称)与 $ \triangle ABC $ 明显不全等,因此可得结论：______。
(3)猜想与验证：猜想是否存在满足“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等呢？存在与否,请举一例尺规作图验证(提示：按照探究中的已知先构造三角形,再根据求作要求尺规作图)。
(4)归纳与总结：用一句话归纳(3)。

(实践与操作作图区)

(猜想与验证作图区)
电

答案：

(1) 作图如图①所示。

(2) 两 $D_{2}EF$ 两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等
(3) 如图②，当$\angle ABC=90^{\circ}$时，按步骤作图，可得$\triangle DEF\cong \triangle ABC$。

如图③，当$\angle ABC＞90^{\circ}$时，按步骤作图，也可得$\triangle DEF\cong \triangle ABC$。

(4) 两个三角形的两边和其中一边所对的角分别相等，且该角为直角或钝角时，这两个三角形全等(合理即可)