《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

9.(2024·无锡校级期中)如图,$CB⊥AD,AE⊥CD$,垂足分别为B,E,AE,BC相交于点F,若$AB= BC= 16,CF= 8$,连接DF,则图中阴影部分的面积为____.

答案： 32 解析：$∵ CB ⊥ AD$，$AE ⊥ CD$，$∴ ∠ABF = ∠CBD = 90^{\circ}$，$∠FEC = 90^{\circ}$。$∵ ∠AFB = ∠EFC$，$∴ ∠A = ∠C$。在 $△ABF$ 和 $△CBD$ 中，$\begin{cases}∠ABF = ∠CBD \\ AB = CB \\ ∠A = ∠C\end{cases}$ $∴ △ABF ≌ △CBD (ASA)$，$∴ BF = BD$。$∵ BF = BC - CF = 16 - 8 = 8$，$∴ BD = 8$，$∴$ 图中阴影部分的面积 $ = \frac{1}{2} \cdot FC \cdot BD = \frac{1}{2} × 8 × 8 = 32$。

10.如图,在四边形ABCD中,$AB= AD,∠BAD= ∠BCD= 90^{\circ }$,连接AC.若$AC= 8$,则四边形ABCD的面积为____.

答案：
32 解析：如图，过点 $A$ 作 $AE ⊥ AC$，交 $CD$ 的延长线于点 $E$，$∵ AE ⊥ AC$，$∴ ∠EAC = 90^{\circ}$。$∵ ∠DAB = 90^{\circ}$，$∴ ∠DAE = ∠BAC$。$∵ ∠BAD = ∠BCD = 90^{\circ}$，$∴ ∠ADC + ∠B = 180^{\circ}$。$∵ ∠EDA + ∠ADC = 180^{\circ}$，$∴ ∠EDA = ∠B$。在 $△ADE$ 和 $△ABC$ 中，$\begin{cases}∠EAD = ∠CAB \\ AD = AB \\ ∠EDA = ∠B\end{cases}$ $∴ △ADE ≌ △ABC (ASA)$。$∴ AE = AC = 8$，$△ABC$ 的面积 $ = △ADE$ 的面积。$∴$ 四边形 $ABCD$ 的面积 $ = △AEC$ 的面积 $ = \frac{1}{2}AC × AE = \frac{1}{2} × 8 × 8 = 32$。

11.如图,在$\triangle ABC$中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线.连接BF,CF.
(1)求证:$AF= DC.$
(2)连接DF,交AC于点O.你发现线段AC,DF有何关系? 证明你的结论.

答案：
(1) $∵ E$ 为 $AD$ 的中点，$∴ AE = DE$。$∵ AF // BC$，$∴ ∠FAE = ∠EDB$。在 $△AFE$ 和 $△DBE$ 中，$\begin{cases}∠FEA = ∠BED \\ AE = DE \\ ∠FAE = ∠BDE\end{cases}$ $∴ △AFE ≌ △DBE (ASA)$。$∴ AF = DB$。$∵ AD$ 为 $BC$ 边上的中线，$∴ DC = DB$。$∴ AF = DC$。
(2) $AC$，$DF$ 互相平分。证明：$∵ AF // BC$，$∴ ∠AFO = ∠CDO$，$∠FAO = ∠OCD$。在 $△AOF$ 和 $△COD$ 中，$\begin{cases}∠AFO = ∠CDO \\ AF = CD \\ ∠FAO = ∠DCO\end{cases}$ $∴ △AOF ≌ △COD (ASA)$。$∴ AO = CO$，$FO = DO$，即 $AC$，$DF$ 互相平分。

12.如图,在正方形ABCD中,$AB= 4$,E为AB边上一点,点F在BC边上,且$BF= 1$,将点E绕着点F顺时针旋转$90^{\circ }$得到点G,连接DG,则DG长的最小值为____.

答案：
3 解析：如图，过点 $G$ 作 $GH ⊥ BC$，垂足为 $H$，$∴ ∠GHF = 90^{\circ}$。$∵$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$∴ AB = CD = 4$，$∠B = 90^{\circ}$，$∴ ∠B = ∠GHF = 90^{\circ}$，由旋转得 $EF = FG$，$∠EFG = 90^{\circ}$，$∴ ∠EFB + ∠GFH = 90^{\circ}$。$∵ ∠BEF + ∠BFE = 90^{\circ}$，$∴ ∠BEF = ∠GFH$，$∴ △EBF ≌ △FHG$，$∴ BF = GH = 1$，$∴$ 点 $G$ 在与 $BC$ 平行且与 $BC$ 的距离为 1 的直线上，$∴$ 当点 $G$ 在 $CD$ 边上时，$DG$ 最小且 $DG = 4 - 1 = 3$，$∴ DG$ 的最小值为 3。

13.情境观察:
如图①,在$\triangle ABC$中,AE平分$∠BAC,AD= DC,CD⊥AB,AE⊥BC$,垂足分别为D,E,CD与AE交于点F.
①写出图①中所有的全等三角形:____;
②线段AF与线段CE的数量关系是____.
问题探究:
如图②,在$\triangle ABC$中,$AB= BC,∠BAC= ∠BCA= 45^{\circ }$,AD平分$∠BAC,AD⊥CD$,垂足为D,AD与BC交于点E.求证:$AE= 2CD.$
拓展延伸:
如图③,在$\triangle ABC$中,$AB= BC,∠BAC= ∠BCA= 45^{\circ }$,点D在AC上,$∠EDC= \frac {1}{2}∠BAC,DE⊥CE$,垂足为E,DE与BC交于点F.试探究DF与CE之间的数量关系.
要求:请你写出辅助线的作法,并在图③中画出辅助线,不需要证明.

答案：
情境观察：① $△ABE ≌ △ACE$，$△ADF ≌ △CDB$ ② $AF = 2CE$
问题探究：延长 $AB$，$CD$ 交于点 $G$。$∵ AD$ 平分 $∠BAC$，$∴ ∠CAD = ∠GAD$。$∵ AD ⊥ CD$，$∴ ∠ADC = ∠ADG = 90^{\circ}$。在 $△ADC$ 和 $△ADG$ 中，$\begin{cases}∠ADC = ∠ADG \\ AD = AD \\ ∠CAD = ∠GAD\end{cases}$ $∴ △ADC ≌ △ADG (ASA)$，$∴ CD = GD$，即 $CG = 2CD$。$∵ ∠BAC = ∠BCA = 45^{\circ}$，$∴ ∠ABC = 90^{\circ}$，$∴ ∠CBG = 90^{\circ}$，$∴ ∠G + ∠BCG = 90^{\circ}$。$∵ ∠G + ∠BAE = 90^{\circ}$，$∴ ∠BAE = ∠BCG$。在 $△ABE$ 和 $△CBG$ 中，$\begin{cases}∠ABE = ∠CBG = 90^{\circ} \\ AB = CB \\ ∠BAE = ∠BCG\end{cases}$ $∴ △ABE ≌ △CBG (ASA)$，$∴ AE = CG = 2CD$。
拓展延伸：作 $DG ⊥ BC$ 交 $CE$ 的延长线于 $G$，如图所示，$DF = 2CE$。