《2025年学霸甘肃少年儿童出版社八年级数学上册苏科版》

9. (2025·周口校级月考)一个三角形的三条边的长分别是 5,8,10,另一个三角形的三条边的长分别是 5,$4x+2,2y-2$,若这两个三角形全等,则$x+y$的值是______.

答案： 7.5或7 解析：一个三角形的三条边的长分别是5，8，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，$4x + 2$，$2y - 2$，这两个三角形全等，$\therefore 4x + 2 = 8$，$2y - 2 = 10$或$4x + 2 = 10$，$2y - 2 = 8$，解得$x = 1.5$，$y = 6$或$x = 2$，$y = 5$，$\therefore x + y = 7.5$或7。

10. (1)如图①所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则$∠ABC= $______$^{\circ}$.

(2)(2024·商丘期中)三个全等三角形按如图②所示的形式摆放,则$∠1+∠2+∠3$的度数是______.

答案：

(1)30 解析：如图①，$\because$六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成，$\therefore BD = AC$，$BC = AF$，$\therefore CD = CF$，同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，$\therefore \angle 1 = \frac{1}{6} \times (6 - 2) \times 180^{\circ} = 120^{\circ}$，$\therefore \angle 2 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = 30^{\circ}$。

(2)$180^{\circ}$ 解析：如图②所示，由图形可得$\angle 1 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 8 + \angle 6 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 9 + \angle 7 = 540^{\circ}$。$\because$三个三角形是全等三角形，$\therefore \angle 4 + \angle 9 + \angle 6 = 180^{\circ}$。又$\because \angle 5 + \angle 7 + \angle 8 = 180^{\circ}$，$\therefore \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + 180^{\circ} + 180^{\circ} = 540^{\circ}$，$\therefore \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$。

11. 如图,已知$△ABC\cong △DEB$,点 E 在 AB 上,DE 与 AC 相交于点 F.
(1)当$DE= 8,BC= 5$时,线段 AE 的长为______.
(2)已知$∠D= 35^{\circ},∠C= 60^{\circ}$.
①求$∠DBC$的度数;
②求$∠AFD$的度数.

答案：
(1)3
(2)①$\because \triangle ABC \cong \triangle DEB$，$\therefore \angle A = \angle D = 35^{\circ}$，$\angle DBE = \angle C = 60^{\circ}$。$\because \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 85^{\circ}$，$\therefore \angle DBC = \angle ABC - \angle DBE = 85^{\circ} - 60^{\circ} = 25^{\circ}$。
②$\because \angle AEF$是$\triangle DBE$的外角，$\therefore \angle AEF = \angle D + \angle DBE = 35^{\circ} + 60^{\circ} = 95^{\circ}$。$\because \angle AFD$是$\triangle AEF$的外角，$\therefore \angle AFD = \angle A + \angle AEF = 35^{\circ} + 95^{\circ} = 130^{\circ}$。

12. (2025·常州校级月考)如图①,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ},BC= 9cm,AC= 12cm,AB= 15cm$,现有一动点 P 从点 A 出发,沿着三角形的边$AC→CB→BA$运动,回到点 A 停止,速度为$3cm/s$,设运动时间为$t$s.
(1)如图①,当$t= $______时,$△APC的面积等于△ABC$面积的一半.
(2)如图②,在$△DEF$中,$∠E= 90^{\circ},DE= 4cm,DF= 5cm,∠D= ∠A$.在$△ABC$的边上,若另外有一个动点 Q,与点 P 同时从点 A 出发,沿着边$AB→BC→CA$运动,回到点 A 停止,在两点运动过程中的某一时刻,恰好$△APQ与△DEF$全等,求点 Q 的运动速度.

答案：

(1)5.5或9.5 解析：$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54(cm^{2})$，$\because \triangle APC$的面积等于$\triangle ABC$面积的一半，$\therefore S_{\triangle APC} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC} = 27cm^{2}$。当点$P$运动到$BC$边上时，此时$S_{\triangle APC} = \frac{1}{2}AC \cdot PC = 27cm^{2}$，即$S_{\triangle APC} = \frac{1}{2} \times 12 \cdot PC = 27cm^{2}$，$\therefore PC = 4.5cm$，此时运动时间为$\frac{12 + 4.5}{3} = 5.5(s)$；当点$P$运动到$AB$边上时，此时$S_{\triangle APC} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，$\because \triangle APC$的边$AP$上的高与$\triangle ABC$的边$AB$上的高相等，$\therefore AP = \frac{1}{2}AB$，$\therefore$此时点$P$为$AB$边的中点，此时运动时间为$\frac{12 + 9 + 7.5}{3} = 9.5(s)$。综上所述，当$t = 5.5$或$9.5$时，$\triangle APC$的面积等于$\triangle ABC$面积的一半。
(2)设点$Q$的运动速度为$x cm/s$。
①当点$P$在边$AC$上，点$Q$在边$AB$上，$\triangle APQ \cong \triangle DEF$时，如图①，$AP = DE = 4cm$，$AQ = DF = 5cm$，$\therefore 4 \div 3 = 5 \div x$，解得$x = \frac{15}{4}$；

②当点$P$在边$AC$上，点$Q$在边$AB$上，$\triangle APQ \cong \triangle DFE$时，$AP = DF = 5cm$，$AQ = DE = 4cm$，$\therefore 5 \div 3 = 4 \div x$，解得$x = \frac{12}{5}$；
③当点$P$在边$AB$上，点$Q$在边$AC$上，$\triangle AQP \cong \triangle DEF$时，$AP = DF = 5cm$，$AQ = DE = 4cm$，$\therefore$点$P$运动的路程为$9 + 12 + 15 - 5 = 31(cm)$，点$Q$运动的路程为$9 + 15 + 12 - 4 = 32(cm)$，$\therefore 31 \div 3 = 32 \div x$，解得$x = \frac{96}{31}$；
④当点$P$在边$AB$上，点$Q$在边$AC$上，$\triangle APQ \cong \triangle DEF$时，$AP = DE = 4cm$，$AQ = DF = 5cm$，$\therefore$点$P$运动的路程为$9 + 12 + 15 - 4 = 32(cm)$，点$Q$运动的路程为$9 + 15 + 12 - 5 = 31(cm)$，$\therefore 32 \div 3 = 31 \div x$，解得$x = \frac{93}{32}$。综上，点$Q$的运动速度为$\frac{15}{4}cm/s$或$\frac{12}{5}cm/s$或$\frac{96}{31}cm/s$或$\frac{93}{32}cm/s$。