《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

1. 若二次函数$y = x^{2}-2x + m$的图像与$x$轴交于$A(x_{1},0)$、$B(x_{2},0)$两点，且$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=-\frac{2}{3}$，则此二次函数的表达式为（ ）
A. $y = x^{2}-2x - 2$
B. $y = x^{2}-2x - 3$
C. $y = x^{2}-2x - 4$
D. $y = x^{2}-2x - 5$

答案： B

2.（2024·海门期中）如图，抛物线$y = ax^{2}$与直线$y = bx + c$的两个交点坐标分别为$A(-3,9)$、$B(1,1)$，则关于$x$的方程$ax^{2}-bx - c = 0$的解为（ ）
A. $x_{1}=-1,x_{2}=3$ B. $x_{1}=9,x_{2}=-3$
C. $x_{1}=1,x_{2}=9$ D. $x_{1}=1,x_{2}=-3$
　　　

答案： D

3.（2024·遂宁）如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\neq0$）的对称轴为直线$x = -1$，且该抛物线与$x$轴交于点$A(1,0)$，与$y$轴的交点$B$在点$(0,-2)$、$(0,-3)$之间（不含端点）.有下列结论：①$abc＞0$；②$9a - 3b + c＞0$；③$\frac{2}{3}＜a＜1$；④若方程$ax^{2}+bx + c = x + 1$的两根为$m$、$n$（$m ＜ n$），则$-3 ＜ m ＜ 1 ＜ n$.其中，正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
　　　

答案： B

4.（2024·广陵一模）如图，抛物线$y = -\frac{1}{3}(x - t)(x - t + 6)$与直线$y = x - 1$有两个交点，这两个交点的纵坐标分别为$m$、$n$（$m ＜ n$）.双曲线$y = \frac{mn}{x}$的两个分支分别位于第二、四象限，则$t$的取值范围是（ ）
A. $t ＜ 0$ B. $0 ＜ t ＜ 6$
C. $1 ＜ t ＜ 7$ D. $t ＜ 1$或$t ＞ 6$
　　　　　　　　　　　　　

答案：
C 解析：
∵ 双曲线$y=\frac{mn}{x}$的两个分支分别位于第二、四象限，
∴ $mn＜0$.
∴ $m＜0,n＞0$. 如图，设抛物线与$x$轴的两个交点为$A、B$，抛物线与直线的两个交点为$M、N$，则点$M、N$的纵坐标分别为$m、n$. 易得点$A、B$的坐标分别为$(t - 6,0)、(t,0)$，直线$y = x - 1$与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$，抛物线的顶点坐标为$(t - 3,3)$.
∴ 抛物线的顶点在直线$y = 3$上.
∴ 由图，可知$\begin{cases}t - 6＜1\\t＞1\end{cases}$，解得$1＜t＜7$.

5.（1）（海陵一模）当$x$取任意实数时，二次函数$y = x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}$的值始终为正数，则$m$的取值范围是__________；
（2）（姑苏二模）已知二次函数$y = x^{2}-2ax + a^{2}-3a + 6$的图像与$x$轴没有公共点，且当$x ＜ -1$时，$y$随$x$的增大而减小，则实数$a$的取值范围是__________.

答案：
(1) $m＜-\frac{1}{4}$
(2) $-1\leqslant a＜2$

6.（2024·宿豫三模）已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$经过点$(1,0)$和点$(0,-3)$，且对称轴在$y$轴的左侧.有下列结论：①$a ＞ 0$；②$a + b = 3$；③抛物线经过点$(-1,0)$；④关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + (c + 2)=0$有两个不相等的实数根.其中，正确的是________（填序号）.

答案： ①②④

7.（2024·沭阳一模）如图，抛物线$y = ax^{2}+c$与直线$y = mx + n$交于$A(-2,p)$、$B(4,q)$两点，则不等式$ax^{2}+c ＜ mx + n$的解集是__________.
　　　　　　　　　

答案： $-2＜x＜4$

8.（贾汪二模）二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$）的图像如图所示，对称轴为直线$x = 2$.若$x_{1}$、$x_{2}$是一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$）的两个根，且$x_{1}＜x_{2}$，$-1 ＜ x_{1}＜0$，则$x_{2}$的取值范围是__________.
　　　　　　　　　

答案： $4＜x_{2}＜5$

9.（2023·巴中）规定：如果两个函数的图像关于$y$轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数$y = x + 3$与$y = -x + 3$互为“Y函数”.若函数$y = \frac{k}{4}x^{2}+(k - 1)x + k - 3$的图像与$x$轴只有一个交点，则它的“Y函数”图像与$x$轴的交点坐标为__________.

答案： $(3,0)$或$(4,0)$

10. 已知二次函数$y = x^{2}+bx + c$，当$x = 2$时，该函数取最小值.
（1）求$b$的值；
（2）若该函数的图像与坐标轴只有2个不同的交点，求这两个交点间的距离.

答案：
(1) 由题意，可知该二次函数的图像开口向上，
∴ 当$x = -\frac{b}{2}$时，该函数取最小值，即$-\frac{b}{2}=2$，解得$b = - 4$
(2)
∵ 该二次函数的图像与$y$轴一定有一个交点，
∴ 分两种情况：① 当与$y$轴的交点为坐标原点时，二次函数的表达式为$y = x^{2}-4x$，易得图像与坐标轴只有2个不同的交点$(0,0)$和$(4,0)$，它们之间的距离为4. ② 当与$y$轴的交点不为坐标原点时，则与$x$轴只有一个交点. 令$y = 0$，则$x^{2}-4x + c = 0$.
∴ $(-4)^{2}-4c = 0$，解得$c = 4$.
∴ 二次函数的表达式为$y = x^{2}-4x + 4$. 令图像与$y$轴的交点为$A$，与$x$轴的交点为$B$，则易得$A(0,4)、B(2,0)$.
∴ $OA = 4$，$OB = 2$.
∴ $AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$. 综上所述，两个交点间的距离为4或$2\sqrt{5}$