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2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
1. 在△ABC中，∠C = 90°，给出下列等式：① a = c·sin A；② b = c·cos B；③ c = $\frac{b}{\sin B}$；④ a·sin B = b·sin A. 其中，正确的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答案：
C
2. （2023·泌阳期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D. 若BD = 9，DC = 5，cos B = $\frac{3}{5}$，E为边AC的中点，则cos∠ADE的值为（ ）
A. $\frac{4}{5}$
B. $\frac{5}{13}$
C. $\frac{5}{12}$
D. $\frac{12}{13}$
A. $\frac{4}{5}$
B. $\frac{5}{13}$
C. $\frac{5}{12}$
D. $\frac{12}{13}$
答案：
D
3. 如图，在△ABC中，∠A = 120°，AC = 2，sin B = $\frac{\sqrt{21}}{14}$，则AB的长为（ ）
A. 3
B. 3 $\frac{1}{2}$
C. 4
D. 4 $\frac{1}{2}$
A. 3
B. 3 $\frac{1}{2}$
C. 4
D. 4 $\frac{1}{2}$
答案：
C
4. （2024·聊城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作CD的垂线，分别交BC、CD于点E、F. 若tan∠CAE = $\frac{2}{3}$，AE = 26，则CD的长为（ ）
A. 39
B. 8$\sqrt{13}$
C. 6$\sqrt{13}$
D. 19.5
A. 39
B. 8$\sqrt{13}$
C. 6$\sqrt{13}$
D. 19.5
答案：
4.D 解析:
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD= $\frac{1}{2}AB = BD$。
∴ $\angle BCD=\angle B$。
∵ $\angle CAE = 90^{\circ}-\angle AEC=\angle BCD$，
∴ $\angle B=\angle CAE$。
∵ $\angle ACE=\angle BCA$，
∴ $\triangle ACE\sim\triangle BCA$。
∴ $\frac{AE}{BA}=\frac{CE}{CA}$。
∵ $\angle ACE = 90^{\circ}$，
∴ $\tan\angle CAE=\frac{CE}{CA}$。
∵ $AE = 26$，$\tan\angle CAE=\frac{2}{3}$，
∴ $\frac{AE}{BA}=\frac{CE}{CA}=\frac{2}{3}$。
∴ $AB = 39$。
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times39 = 19.5$。
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD= $\frac{1}{2}AB = BD$。
∴ $\angle BCD=\angle B$。
∵ $\angle CAE = 90^{\circ}-\angle AEC=\angle BCD$，
∴ $\angle B=\angle CAE$。
∵ $\angle ACE=\angle BCA$，
∴ $\triangle ACE\sim\triangle BCA$。
∴ $\frac{AE}{BA}=\frac{CE}{CA}$。
∵ $\angle ACE = 90^{\circ}$，
∴ $\tan\angle CAE=\frac{CE}{CA}$。
∵ $AE = 26$，$\tan\angle CAE=\frac{2}{3}$，
∴ $\frac{AE}{BA}=\frac{CE}{CA}=\frac{2}{3}$。
∴ $AB = 39$。
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times39 = 19.5$。
5. 如图，在□ABCD中，CH⊥AD，垂足为H. 若cos B = $\frac{\sqrt{5}}{5}$，且CH = 4，则CD的长为______.
答案：
$2\sqrt{5}$
6. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且BD平分AC. 若BD = 8，AC = 6，tan∠AOB = $\sqrt{3}$，则四边形ABCD的面积为______.
答案：
$12\sqrt{3}$
7. 在△ABC中，AB = 12$\sqrt{2}$，AC = 13，cos B = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，则BC的长为______.
答案：
7或17 解析:
∵ $\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $\angle B = 45^{\circ}$。当$\triangle ABC$为钝角三角形时，如图①，过点A作 $AD\perp BC$，交BC的延长线于点D。在 $Rt\triangle ABD$ 中，
∵ $AB = 12\sqrt{2}$，$\angle B = 45^{\circ}$，
∴ $AD = AB\cdot\sin B = 12\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=12$，$BD = AB\cdot\cos B = 12\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=12$。在 $Rt\triangle ACD$ 中，由勾股定理，得 $CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}} = 5$，
∴ $BC = BD - CD = 12 - 5 = 7$。当$\triangle ABC$为锐角三角形时，如图②，过点A作 $AD\perp BC$ 于点D。同理，可得 $BC = BD + CD = 12 + 5 = 17$。综上所述，BC的长为7或17。
7或17 解析:
∵ $\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $\angle B = 45^{\circ}$。当$\triangle ABC$为钝角三角形时，如图①，过点A作 $AD\perp BC$，交BC的延长线于点D。在 $Rt\triangle ABD$ 中，
∵ $AB = 12\sqrt{2}$，$\angle B = 45^{\circ}$，
∴ $AD = AB\cdot\sin B = 12\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=12$，$BD = AB\cdot\cos B = 12\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=12$。在 $Rt\triangle ACD$ 中，由勾股定理，得 $CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}} = 5$，
∴ $BC = BD - CD = 12 - 5 = 7$。当$\triangle ABC$为锐角三角形时，如图②，过点A作 $AD\perp BC$ 于点D。同理，可得 $BC = BD + CD = 12 + 5 = 17$。综上所述，BC的长为7或17。
8. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，sin A = $\sqrt{3}$sin B，a + b = $\sqrt{5}$ + $\sqrt{15}$. 解这个直角三角形.
答案：
∵ $\angle C = 90^{\circ}$，$c\neq0$，
∴ $\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$。又
∵ $\sin A=\sqrt{3}\sin B$，
∴ $\frac{a}{c}=\sqrt{3}\cdot\frac{b}{c}$。
∴ $a = \sqrt{3}b$。设 $b = k$，则 $a=\sqrt{3}k$。
∵ $a + b=\sqrt{5}+\sqrt{15}$，
∴ $\sqrt{3}k + k=\sqrt{5}+\sqrt{15}$，解得 $k=\sqrt{5}$。
∴ $b=\sqrt{5}$，$a=\sqrt{3}\times\sqrt{5}=\sqrt{15}$。
∴ 由勾股定理，得 $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}} = 2\sqrt{5}$。
∵ $\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，
∴ $\angle B = 30^{\circ}$。
∴ $\angle A = 90^{\circ}-\angle B = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$
∵ $\angle C = 90^{\circ}$，$c\neq0$，
∴ $\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$。又
∵ $\sin A=\sqrt{3}\sin B$，
∴ $\frac{a}{c}=\sqrt{3}\cdot\frac{b}{c}$。
∴ $a = \sqrt{3}b$。设 $b = k$，则 $a=\sqrt{3}k$。
∵ $a + b=\sqrt{5}+\sqrt{15}$，
∴ $\sqrt{3}k + k=\sqrt{5}+\sqrt{15}$，解得 $k=\sqrt{5}$。
∴ $b=\sqrt{5}$，$a=\sqrt{3}\times\sqrt{5}=\sqrt{15}$。
∴ 由勾股定理，得 $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}} = 2\sqrt{5}$。
∵ $\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，
∴ $\angle B = 30^{\circ}$。
∴ $\angle A = 90^{\circ}-\angle B = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$
9. （2024·苏州期末）如图，在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 105°，AB = 12. 求：
（1）BC的长；
（2）△ABC的面积（结果保留根号）.
（1）BC的长；
（2）△ABC的面积（结果保留根号）.
答案：
(1) 如图，过点B作 $BH\perp AC$ 于点H，则$\angle BHC=\angle AHB = 90^{\circ}$。
∵ $\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 12$，
∴ $BH = AB\cdot\sin30^{\circ}=6$。
∵ $\angle ABC = 105^{\circ}$，
∴ $\angle C = 180^{\circ}-\angle A-\angle ABC = 45^{\circ}$。
∵ $\angle BHC = 90^{\circ}$，
∴ $BC=\frac{BH}{\sin C}=\frac{6}{\sin45^{\circ}}=6\sqrt{2}$
(2)
∵ $\angle AHB = 90^{\circ}$，
∴ $AH = AB\cdot\cos A = 12\times\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
∵ $\angle BHC = 90^{\circ}$，
∴ $CH = BC\cdot\cos45^{\circ}=6\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=6$。
∴ $AC = AH + CH = 6\sqrt{3}+6$。
∴ $\triangle ABC$ 的面积$=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}\times(6\sqrt{3}+6)\times6 = 18\sqrt{3}+18$
(1) 如图，过点B作 $BH\perp AC$ 于点H，则$\angle BHC=\angle AHB = 90^{\circ}$。
∵ $\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 12$，
∴ $BH = AB\cdot\sin30^{\circ}=6$。
∵ $\angle ABC = 105^{\circ}$，
∴ $\angle C = 180^{\circ}-\angle A-\angle ABC = 45^{\circ}$。
∵ $\angle BHC = 90^{\circ}$，
∴ $BC=\frac{BH}{\sin C}=\frac{6}{\sin45^{\circ}}=6\sqrt{2}$
(2)
∵ $\angle AHB = 90^{\circ}$，
∴ $AH = AB\cdot\cos A = 12\times\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
∵ $\angle BHC = 90^{\circ}$，
∴ $CH = BC\cdot\cos45^{\circ}=6\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=6$。
∴ $AC = AH + CH = 6\sqrt{3}+6$。
∴ $\triangle ABC$ 的面积$=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}\times(6\sqrt{3}+6)\times6 = 18\sqrt{3}+18$
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