《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

10.（2024·安徽）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角α = 36.9°，点B到水面的距离BC = 1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD = 2.50 m.点B、C、D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β，折射角为γ，求$\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}$的值（精确到0.1，参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75）.

答案：
如图，过点E作EH⊥AD于点H. 根据题意，得∠CEB = α = 36.9°，∠CBE = β，EH = 1.20 m，CE = DH.
∵∠BCE = 90°，
∴sin β = sin∠CBE = $\frac{CE}{BE}=\cos∠CEB=\cosα\approx0.80$，CE = $\frac{BC}{\tan36.9^{\circ}}\approx\frac{1.20}{0.75}=1.60$(m).
∴AH = AD - DH = AD - CE = 2.50 - 1.60 = 0.90(m).
∵∠AHE = 90°，
∴AE = $\sqrt{AH^{2}+EH^{2}}=\sqrt{0.90^{2}+1.20^{2}} = 1.50$(m).
∴sin γ = $\frac{AH}{AE}=\frac{0.90}{1.50}=0.60$.
∴$\frac{\sinβ}{\sinγ}=\frac{0.80}{0.60}\approx1.3$.

11.（2023·泰州）如图，堤坝AB的长为10 m，坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山DE之间有一深沟，山顶D处立有高20 m的铁塔CD.小明欲测量山高DE，他在点A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′.求堤坝AB的高及山高DE（小明身高忽略不计，精确到1 m，参考数据：sin 26°35′≈0.45，cos 26°35′≈0.89，tan 26°35′≈0.50）.

答案：
如图，过点B分别作BH⊥AE于点H、BF⊥CE于点F.
∵堤坝AB的坡度i为1∶0.75 = 4∶3，
∴可设BH = 4k m，则AH = 3k m.
∵∠AHB = 90°，
∴AB = $\sqrt{AH^{2}+BH^{2}} = 5k$ m.
∵AB = 10 m，
∴5k = 10，解得k = 2.
∴AH = 6 m，BH = 8 m.
∵∠BHE = ∠HEF = ∠EFB = 90°，
∴四边形BHEF为矩形.
∴EF = BH = 8 m，BF = EH. 设DF = x m.
∵∠BFD = 90°，α = 26°35′，
∴BF = $\frac{DF}{\tan26^{\circ}35′}\approx\frac{x}{0.50}=2x$(m).
∴AE = (6 + 2x)m.
∵堤坝AB的坡度i为1∶0.75，
∴易得CE∶AE=(20 + x + 8)∶(6 + 2x)=1∶0.75，解得x = 12. 经检验，x = 12是原分式方程的解，且符合题意.
∴DF = 12 m.
∴DE = DF + EF = 12 + 8 = 20(m).
∴堤坝AB的高为8 m，山高DE约为20 m.

12.（2024·重庆A卷）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B、D两港运送物资，最后到达A港正东方的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40 n mile后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{6}$≈2.45）.
（1）求A、C两港之间的距离（精确到0.1 n mile）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），请通过计算说明哪艘货轮先到达C港.

答案：

(1) 如图，过点B作BE⊥AC于点E，则∠AEB = 90°. 在Rt△ABE中，
∵∠BAE = 90° - 45° = 45°，AB = 40 n mile，
∴AE = AB·cos 45° = 40×$\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$(n mile)，BE = AB·sin 45° = 40×$\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$(n mile). 在Rt△BCE中，
∵∠CBE = 60°，
∴CE = BE·tan 60° = 20\sqrt{2}×$\sqrt{3}=20\sqrt{6}$(n mile).
∴AC = AE + CE = 20\sqrt{2}+20\sqrt{6}\approx77.2(n mile).
∴A、C两港之间的距离约为77.2 n mile.
(2) 如图，根据题意，得∠CDF = 30°，DF//AG.
∴∠GAD = ∠ADF = 60°.
∴∠ADC = ∠ADF + ∠CDF = 90°. 在Rt△ACD中，
∵∠CAD = 90° - ∠GAD = 30°，
∴易得CD = $\frac{1}{2}AC=(10\sqrt{2}+10\sqrt{6})$n mile，AD = $\sqrt{3}CD=(10\sqrt{6}+30\sqrt{2})$n mile. 在Rt△BCE中，
∵∠CBE = 60°，BE = 20\sqrt{2} n mile，
∴BC = $\frac{BE}{\cos60^{\circ}}=\frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 40\sqrt{2}$(n mile).
∴甲货轮航行的路程 = AB + BC = 40 + 40\sqrt{2}\approx96.4(n mile)，乙货轮航行的路程 = AD + CD = 10\sqrt{6}+30\sqrt{2}+10\sqrt{2}+10\sqrt{6}=20\sqrt{6}+40\sqrt{2}\approx105.4(n mile).
∵96.4＜105.4，
∴在甲、乙两艘货轮的速度相同的情况下(停靠B、D两港的时间相同)，甲货轮先到达C港.