《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

9. 如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB、BC、AD上，AE=$\frac{1}{3}$AB，CF=$\frac{1}{3}$CB，AG=$\frac{1}{3}$AD，△EFG的面积是6. 求菱形ABCD的面积.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
如图，连接 BD，延长 GE，交 FB 的延长线于点 H. 设菱形 ABCD 的边长为 3a，则易得 AE = AG = CF = a.
∴ BE = DG = BF = 2a.
∵ 在菱形 ABCD 中，AD//BC，即 AG//BH，
∴ ∠A = ∠HBE，∠AGE = ∠BHE.
∴ △AEG∽△BEH.
∴ $\frac{AG}{BH}$ = $\frac{EG}{EH}$ = $\frac{AE}{BE}$ = $\frac{a}{2a}$ = $\frac{1}{2}$.
∴ EH = 2EG，BH = 2AG = 2a = BF.
∵ EH = 2EG，S△EFG = 6，
∴ S△HEF = 2S△EFG = 12.
∵ BH = BF，
∴ S△BEH = S△BEF = $\frac{1}{2}$S△HEF = 6.
∵ △AEG∽△BEH，
∴ $\frac{S_{\triangle AEG}}{S_{\triangle BEH}}$ = ($\frac{AE}{BE}$)² = ($\frac{1}{2}$)² = $\frac{1}{4}$，即 $\frac{S_{\triangle AEG}}{6}$ = $\frac{1}{4}$.
∴ S△AEG = $\frac{3}{2}$.
∵ DG = BH = 2a，DG//BH，
∴ 四边形 BHGD 为平行四边形.
∴ EG//BD.
∴ △AEG∽△ABD.
∴ $\frac{S_{\triangle AEG}}{S_{\triangle ABD}}$ = ($\frac{AE}{AB}$)² = ($\frac{1}{3}$)² = $\frac{1}{9}$.
∴ S△ABD = 9S△AEG = 9×$\frac{3}{2}$ = $\frac{27}{2}$.
∴ S菱形ABCD = 2S△ABD = 2×$\frac{27}{2}$ = 27.

10.（2024·鼓楼期末）如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，MN为折痕. 若$\frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}$，则$\frac{AM}{AN}$的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{2}{3}$ C. $\frac{4}{5}$ D. $\frac{5}{7}$
　　　

答案： C 解析：
∵ $\frac{BD}{DC}$ = $\frac{1}{2}$，
∴ 设 BD = k，则 CD = 2k.
∴ AB = AC = BC = k + 2k = 3k.
∵ MN 是折痕，
∴ DM = AM，DN = AN.
∴ △BMD 的周长 = BM + DM + BD = BM + AM + BD = AB + BD = 3k + k = 4k. 同理，△CDN 的周长 = 5k.
∵ △ABC 为等边三角形，
∴ ∠MDN = ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∴ ∠MDB + ∠CDN = ∠BMD + ∠MDB = 120°.
∴ ∠BMD = ∠CDN. 又
∵ ∠B = ∠C，
∴ △BMD∽△CDN.
∴ $\frac{DM}{ND}$ = $\frac{△BMD的周长}{△CDN的周长}$.
∴ $\frac{DM}{ND}$ = $\frac{4k}{5k}$ = $\frac{4}{5}$.
∴ $\frac{AM}{AN}$ = $\frac{DM}{ND}$ = $\frac{4}{5}$.

11.（2023·海州一模）如图，点E、F分别在□ABCD的边BC、AD上，BE = DF，点P在线段AB上，AP∶PB = 2∶3，过点P作BC的平行线l，交边CD于点Q，将△ABE分成面积为S1和S2的两部分，将△CDF分成面积为S3和S4的两部分，则$\frac{S1 + S3}{S2 + S4}$=_______.
　　　　

答案： $\frac{13}{37}$ 解析：设直线 l 交 AE 于点 G.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB//CD，AD//BC，AB = CD，∠B = ∠D.
∵ BE = DF，
∴ △ABE≌△CDF.
∴ S△ABE = S△CDF. 又
∵ l//BC，
∴ l//AD//BC.
∴ DQ∶QC = AP∶PB = 2∶3，△APG∽△ABE.
∴ $\frac{S_{1}}{S_{\triangle ABE}}$ = ($\frac{2}{2 + 3}$)² = $\frac{4}{25}$.
∴ 可设 S△ABE = S△CDF = 25k，则 S₁ = 4k.
∴ S₂ = 25k - 4k = 21k. 同理，$\frac{S_{3}}{S_{\triangle CDF}}$ = ($\frac{3}{2 + 3}$)² = $\frac{9}{25}$.
∵ S△CDF = 25k，
∴ S₃ = 9k.
∴ S₄ = 25k - 9k = 16k.
∴ $\frac{S_{1} + S_{3}}{S_{2} + S_{4}}$ = $\frac{4k + 9k}{21k + 16k}$ = $\frac{13}{37}$.

12. 如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1 = PG，PP2 = PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q. 已知AG∶GD = AE∶EB = 1∶2，设AG = a，AE = b.
（1）四边形EBHP的面积_______四边形GPFD的面积（填“＞”“＜”或“=”）；
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求$\frac{S1}{S2}$的值.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1) = 解析：
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 90°.
∵ GH//AB，
∴ ∠B = ∠GHC = 90°，∠A = ∠PGD = 90°.
∵ EF//AD，
∴ ∠PGD = ∠HPF = 90°.
∴ 四边形 PFCH 为矩形. 同理，可得四边形 AGPE、四边形 GPFD、四边形 EBHP 均为矩形.
∵ AG = a，AE = b，AG∶GD = AE∶EB = 1∶2，
∴ PE = a，PG = b，GD = PF = 2a，EB = PH = 2b.
∴ 四边形 EBHP 的面积 = PE·PH = 2ab，四边形 GPFD 的面积 = PG·PF = 2ab.
∴ 四边形 EBHP 的面积 = 四边形 GPFD 的面积.
(2) 由
(1)，知 PE·PH = PG·PF.
∵ PP₁ = PG，PP₂ = PE，
∴ PP₂·PH = PP₁·PF，即 $\frac{PP_{2}}{PP_{1}}$ = $\frac{PF}{PH}$. 又
∵ ∠FPP₂ = ∠HPP₁，
∴ △PP₂F∽△PP₁H.
∴ ∠PFP₂ = ∠PHP₁.
∵ ∠P₁QF = ∠P₂QH，
∴ △P₁FQ∽△P₂HQ
(3) 如图，连接 P₁P₂、FH.
∵ 易得 $\frac{PP_{2}}{CH}$ = $\frac{a}{2a}$ = $\frac{1}{2}$，$\frac{PP_{1}}{CF}$ = $\frac{b}{2b}$ = $\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{PP_{2}}{CH}$ = $\frac{PP_{1}}{CF}$.
∵ ∠P₁PP₂ = ∠C = 90°，
∴ △PP₁P₂∽△CFH.
∴ $\frac{P_{1}P_{2}}{FH}$ = $\frac{PP_{1}}{CF}$ = $\frac{1}{2}$，$\frac{S_{\triangle PP_{1}P_{2}}}{S_{\triangle CFH}}$ = ($\frac{PP_{1}}{CF}$)² = $\frac{1}{4}$. 由
(2)，可得△P₁FQ∽△P₂HQ，
∴ $\frac{P_{1}Q}{P_{2}Q}$ = $\frac{FQ}{HQ}$.
∴ $\frac{P_{1}Q}{FQ}$ = $\frac{P_{2}Q}{HQ}$.
∵ ∠P₁QP₂ = ∠FQH，
∴ △P₁QP₂∽△FQH.
∴ $\frac{S_{\triangle P_{1}QP_{2}}}{S_{\triangle FQH}}$ = ($\frac{P_{1}P_{2}}{FH}$)² = $\frac{1}{4}$.
∵ S₁ = S△PP₁P₂ + S△P₁QP₂，S₂ = S△CFH + S△FQH，
∴ S₁ = $\frac{1}{4}$S△CFH + $\frac{1}{4}$S△FQH = $\frac{1}{4}$S₂.
∴ $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ = $\frac{1}{4}$