《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

1.（2024·漳州期中）已知二次函数$y = ax^{2}+bx + 2(a\neq0,b$是常数)，函数值$y$和自变量$x$的部分对应值如下表：
　
则该二次函数的表达式为（ ）
A. $y = 2x^{2}-x + 2$
B. $y = x^{2}-2x + 2$
C. $y = -2x^{2}-5x + 2$
D. $y = -x^{2}+2x + 2$

答案： B

2. 如果二次函数的图像经过点$(2,0)$、$(5,0)$，其与二次函数$y = 2x^{2}$的图像的形状一致，那么该二次函数的表达式为（ ）
A. $y = x^{2}+14x + 10$
B. $y = 2x^{2}-14x + 20$
C. $y = 2x^{2}+14x + 20$
D. $y = x^{2}-14x + 10$

答案： B

3.（2024·长沙期末）一个二次函数图像的顶点坐标是$(2,4)$，且过另一点$(0,-4)$，则这个二次函数的表达式为（ ）
A. $y = -2(x + 2)^{2}+4$
B. $y = 2(x + 2)^{2}-4$
C. $y = -2(x - 2)^{2}+4$
D. $y = 2(x - 2)^{2}-4$

答案： C

4.（2024·青铜峡期末）二次函数$y = -x^{2}+bx + c$的图像如图所示，则此二次函数的表达式为______________.
　　　　　　　

答案： $y = -x^{2}+2x + 3$

5.（2024·海宁模拟）已知二次函数$y = x^{2}+bx + c(b、c$为常数且$b＞0,c＜0)$，当$-5\leq x\leq0$时，$-11\leq y\leq5$，则二次函数的表达式为________________.

答案： $y = x^{2}+2x - 10$

6. 已知抛物线$y = x^{2}-4x + c$经过点$(1,0)$，$P$是该抛物线上的一点，以点$P$为圆心，$1$为半径作$\odot P$. 当$\odot P$与直线$y = 2$相切时，点$P$的坐标为________________.

答案： $(2+\sqrt{2},1)$或$(2-\sqrt{2},1)$或$(0,3)$或$(4,3)$

7.（2023·鼓楼期末）已知二次函数$y = ax^{2}+bx + 2$的图像经过点$(2,0)$和点$C$.
(1) 若点$C$的坐标为$(1,3)$.
① 求这个二次函数的表达式；
② 当$-1\leq x\leq2$时，直接写出$y$的取值范围.
(2) 若点$C$的坐标为$(1,m)$，且该函数的图像开口向上，直接写出$m$的取值范围.

答案：
(1) ①
∵ 点$(2,0)$和点$C(1,3)$在函数$y = ax^{2}+bx + 2$的图像上，
∴ $\begin{cases}4a + 2b+2 = 0\\a + b+2 = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -2\\b = 3\end{cases}$，
∴ 这个二次函数的表达式为$y = -2x^{2}+3x + 2$
② $-3\leqslant y\leqslant\frac{25}{8}$ 解析：
∵ $y = -2x^{2}+3x + 2=-2(x-\frac{3}{4})^{2}+\frac{25}{8}$，
∴ 当$x=\frac{3}{4}$时，$y$取得最大值$\frac{25}{8}$。当$x = -1$时，$y = -2x^{2}+3x + 2=-2 - 3+2 = -3$；当$x = 2$时，$y = -2x^{2}+3x + 2=-2\times4 + 3\times2+2 = 0$，
∴ 当$-1\leqslant x\leqslant2$时，$y$的取值范围是$-3\leqslant y\leqslant\frac{25}{8}$。
(2) $m\lt1$ 解析：
∵ 点$(2,0)$和点$C(1,m)$在函数$y = ax^{2}+bx + 2$的图像上，
∴ $\begin{cases}4a + 2b+2 = 0\\a + b+2 = m\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 - m\\b = 2m - 3\end{cases}$。
∵ 该函数的图像开口向上，
∴ $a\gt0$，即$1 - m\gt0$，解得$m\lt1$。

8.（2024·牡丹江）如图，二次函数$y = \frac{1}{2}x^{2}+bx + c$的图像与$x$轴交于$A、B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$C$的坐标为$(0,-3)$，连接$BC$.
(1) 求该二次函数的表达式；
(2) $P$是二次函数的图像在第四象限上的任意一点，当$\triangle PBC$的面积最大时，边$BC$上的高$PN$为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)
∵ 点$A(-1,0)$、$C(0,-3)$在二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+bx + c$的图像上，
∴ $\begin{cases}\frac{1}{2}-b + c = 0\\c = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -\frac{5}{2}\\c = -3\end{cases}$，
∴ 该二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x - 3$
(2) $\frac{9\sqrt{5}}{5}$ 解析：令$y = 0$，则$0=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x - 3$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=6$。
∴ 点$B$的坐标为$(6,0)$。易得$OB = 6$，$OC = 3$。
∵ $\angle BOC = 90^{\circ}$，
∴ $BC=\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=\sqrt{6^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{5}$。设直线$BC$对应的函数表达式为$y = px+q$，则$\begin{cases}6p+q = 0\\q = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=\frac{1}{2}\\q = -3\end{cases}$，
∴ 直线$BC$对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x - 3$。过点$P$作$PD// y$轴，交$BC$于点$D$。
∵ 点$P$在二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x - 3$的图像上，
∴ 可设点$P$的坐标为$(m,\frac{1}{2}m^{2}-\frac{5}{2}m - 3)$。
∵ 点$D$在直线$y=\frac{1}{2}x - 3$上，
∴ 点$D$的坐标为$(m,\frac{1}{2}m - 3)$。
∴ $PD=\frac{1}{2}m - 3-(\frac{1}{2}m^{2}-\frac{5}{2}m - 3)=-\frac{1}{2}m^{2}+3m$。
∴ $S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}PD\cdot OB=\frac{1}{2}\times6(-\frac{1}{2}m^{2}+3m)=-\frac{3}{2}(m - 3)^{2}+\frac{27}{2}$。
∴ $\triangle PBC$的面积最大为$\frac{27}{2}$。
∵ $PN\perp BC$，
∴ $S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}BC\cdot PN$。
∴ $PN=\frac{2S_{\triangle PBC}}{BC}=\frac{2\times\frac{27}{2}}{3\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$。