《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

10.（张家界中考）阅读材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$.
证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△BCD中，CD = a sin B. 在Rt△ACD中，CD = b sin A. ∴ a sin B = b sin A. ∴ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$.
根据上面的材料解决问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$；
（2）如图③，某市想美化一片三角形区域，若∠A = 67°，∠B = 53°，AC = 80 m，求这片区域的面积（结果保留根号，参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）.

答案：

(1) 如图①，过点A作AD⊥BC于点D.
∵在Rt△ABD中，AD = csinB；在Rt△ACD中，AD = bsinC，
∴csinB = bsinC.
∴b/sinB = c/sinC
(2) 如图②，过点A作AE⊥BC于点E.
∵∠BAC = 67°，∠B = 53°，
∴∠C = 60°. 在Rt△ACE中，
∵AE = AC·sinC，
∴AE = 80×sin60° = 80×√3/2 = 40√3(m).
∵AC/sinB = BC/sin∠BAC，
∴BC = 90 m.
∴S△ABC = 1/2×90×40√3 = 1800√3(m²)

11.（2023·苏州）如图所示为某篮球架的侧面示意图，BE、CD、GF为长度固定的支架，支架在点A、D、G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在点B、C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）.
已知AD = BC，DH = 208 cm，测得当∠GAE = 60°时，点C离地面的高度为288 cm. 调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，点C离地面的高度是升高还是降低了？升高（或降低）了多少（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）？

答案：
点C离地面的高度升高了 当∠GAE = 60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，如图①.
∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC//AH.
∵AD = BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB//CD.
∴∠ADC = ∠GAE = 60°.
∵点C离地面的高度为288 cm，DH = 208 cm，
∴DK = 288 - 208 = 80(cm). 在Rt△CDK中，
∵∠CKD = 90°，
∴CD = DK/cos60° = 80/(1/2) = 160(cm). 当∠GAE = 54°时，过点C作CK'⊥HA，交HA的延长线于点K'，如图②. 由题意，得∠CDA = ∠GAE = 54°. 在Rt△CDK'中，
∵∠CK'D = 90°，CD = 160 cm，
∴DK' = CD·cos54°≈160×0.6 = 96(cm).
∵96＞80，96 - 80 = 16(cm)，
∴点C离地面的高度升高了约16 cm