《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

7.（2023·锦州期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”大意如下：如图，有一座正方形城池，A处为北门的中点，从A处往正北方向走30步到B处有一树木，C处为西门的中点，从C处往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长.

答案： 设正方形城池的边长为x(x＞0)步. 根据题意，得BA⊥EA，CD⊥EC.
∴ ∠BAE = ∠ECD = 90°.
∵ 易得∠CEA = 90° = ∠ECD，
∴ AE//CD.
∴ ∠AEB = ∠CDE.
∴ △ABE∽△CED.
∴ $\frac{AB}{CE}=\frac{AE}{CD}$. 根据题意，得AB = 30步，$AE = CE=\frac{1}{2}x$步，CD = 750步，
∴ $\frac{30}{\frac{1}{2}x}=\frac{\frac{1}{2}x}{750}$，解得$x_1 = 300$，$x_2 = - 300$(不合题意，舍去). 经检验，x = 300是原方程的解，且符合实际. 所以正方形城池的边长为300步

8. 如图，小明站在灯光下，投在地面上的影长AB = 1.125 m，蹲下来，则影长AC = 0.5 m，小明的身高AD = 1.6 m，蹲下时的高度AM等于站立时的高度的一半，求灯离地面的高度PH.

答案： 设PH = x m，AH = a m. 根据题意，得PH//AD，
∴ △PHB∽△DAB，△PHC∽△MAC.
∴ $\frac{PH}{DA}=\frac{HB}{AB}$，$\frac{PH}{MA}=\frac{HC}{AC}$，即$\frac{x}{1.6}=\frac{a + 1.125}{1.125}$，$\frac{x}{1.6\div2}=\frac{a + 0.5}{0.5}$，解得x = 8.
∴ 灯离地面的高度PH为8 m

9.（柳南模拟）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体的中心位置时的视觉效果最佳. 如图所示为小然站在水平地面MN上欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角（∠PAD）为α，此时小然的眼睛与油画底部A处在同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直，油画AD的长度为100 cm.
（1）连接BD，直接写出∠ABD的度数（用含α的式子表示）；
（2）当小然到墙壁PM的距离AB = 250 cm时，求油画顶部D到墙壁PM的距离；
（3）当油画底部A的位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM（直接写出答案）？

答案：
(1) ∠ABD = 2α 解析：
∵ BE⊥AD，
∴ ∠BEA = 90°.
∴ ∠BAD + ∠ABE = 90°.
∵ PM⊥MN，AB//MN，
∴ PM⊥AB.
∴ ∠PAD + ∠BAD = 90°.
∴ ∠ABE = ∠PAD = α. 由题意，得AE = DE，BE⊥AD，
∴ 易得∠ABE = ∠DBE.
∴ ∠ABD = 2α.
(2) 过点D作DC⊥PM于点C，则∠ACD = 90°. 设CD = x cm.
∵ E为AD的中点，
∴ $EA=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\times100 = 50$(cm).
∵ ∠DAC = ∠ABE = α，∠ACD = ∠BEA = 90°，
∴ △ACD∽△BEA.
∴ $\frac{CD}{EA}=\frac{AD}{BA}$，即$\frac{x}{50}=\frac{100}{250}$，解得x = 20.
∴ CD = 20 cm.
∴ 油画顶部D到墙壁PM的距离是20 cm
(3) 他应该远离墙壁PM