《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

1.（2024·姜堰期末）若$\sin\alpha＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，则锐角$\alpha$的大小可能是（ ）
A. $35^{\circ}$
B. $40^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $65^{\circ}$

答案： D

2.（2023·宁强期末）按如图所示的运算程序，能使输出$y$的值为$\frac{1}{2}$的是（ ）

A. $\alpha = 60^{\circ},\beta = 45^{\circ}$
B. $\alpha = 30^{\circ},\beta = 45^{\circ}$
C. $\alpha = 30^{\circ},\beta = 30^{\circ}$
D. $\alpha = 45^{\circ},\beta = 30^{\circ}$

答案： C

3.（1）如图①，在$\odot O$中，四边形$OABC$为菱形，点$D$在优弧$AC$上，则$\sin\frac{\angle ADC}{2}=$_______；
（2）（赤峰中考改编）如图②，点$C、D$在以$AB$为直径的半圆$O$上，且$\angle ADC = 120^{\circ}$，$E$是$\overset{\frown}{AD}$上任意一点，连接$BE、CE、BC$，则$\tan\angle BEC$的值为_______.

答案：
(1)$\frac{1}{2}$
(2)$\frac{\sqrt{3}}{3}$

4.（2024·蓬莱期末）在$\triangle ABC$中，$\angle A、\angle B$均为锐角，且有$|\tan A - \sqrt{3}|+(\cos B - \frac{1}{2})^2 = 0$，则$\triangle ABC$是__________.

答案： 等边三角形

5.（2024·昌黎期中）如图，在矩形$ABCD$中，$E$是$CD$的中点，$F$是$BC$上一点，且$FC = 2BF$，连接$AE、EF$.若$AB = 2$，$AD = 3$，则$\cos\angle AEF$的值为_______.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

6. 如图，点$A$在半径为$2$的$\odot O$内，$OA = 1$，$P$为$\odot O$上一动点，当$\angle OPA$最大时，$\angle OPA$的大小为________，$PA$的长为________.

答案： $30^{\circ}$ $\sqrt{3}$

7.（2024·武城期末）定义一种运算：$\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$，$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.例如：当$\alpha = 45^{\circ}$，$\beta = 30^{\circ}$时，$\sin75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，则$\sin15^{\circ}$的值为________.

答案： $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

8. 计算：
（1）（常州一模）$2\sin60^{\circ}+3\tan30^{\circ}-\tan^{2}45^{\circ}$；
（2）$\sin45^{\circ}\cos45^{\circ}-\frac{\cos60^{\circ}}{1 - \sin30^{\circ}}-\frac{\tan60^{\circ}}{\cos30^{\circ}}$.

答案：
(1)$2\sqrt{3}-1$
(2)$-2\frac{1}{2}$

9.（2024·龙东地区）先化简，再求值：$\frac{m^{2}-2m + 1}{m^{2}-1}\div(\frac{m^{2}}{m^{2}+m}-1)$，其中$m = \cos660^{\circ}$.

答案： 原式$=\frac{(m - 1)^2}{(m + 1)(m - 1)}\div\frac{-m}{m^2 + m}=\frac{m - 1}{m + 1}\cdot\frac{m(m + 1)}{-m}=1 - m$. 当$m = \cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$时，原式$=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$