《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

1. △ABC的三边长分别为2、3、4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（ ）
A. 54
B. 36
C. 27
D. 21

答案： C

2.（2024·历城期末）如图，在□ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC = 3∶1，连接AE，交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 3∶4 B. 9∶16 C. 4∶9 D. 1∶3
　　　　

答案： B

3.（2024·南浔期末）如图，在正方形ABCD中，AD分别交△EBC的边EB、EC于点F、G. 若△EBG的面积为6，正方形ABCD的面积为16，则FG与BC的长度比为（ ）
A. 3∶5 B. 3∶6 C. 3∶7 D. 3∶8
　　　　

答案： C

4.（2024·武威一模）已知两个相似多边形的周长比为1∶2，它们的面积和为100，则较小多边形的面积是_______.

答案： 20

5.（2024·海门模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上. 设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则$\frac{C1}{C2}$的值为_______.
　　　　

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

6. 如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC于点F. 若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为_______.
　　　　

答案： 12

7. 如图，□ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE = OB，连接DE.
（1）求证：△BDE是直角三角形；
（2）若OE⊥CD，求证：$\frac{BD^{2}}{CD^{2}}=\frac{BE}{CE}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD.
∵ OE = OB，
∴ OE = OD，∠OEB = ∠OBE.
∴ ∠OED = ∠ODE.
∵ ∠OBE + ∠OEB + ∠ODE + ∠OED = 180°，
∴ ∠BED = ∠OEB + ∠OED = 90°.
∴ △BDE 是直角三角形
(2)
∵ OE⊥CD，
∴ ∠CEO + ∠DCE = 90°. 由
(1)，易得∠CDE + ∠DCE = 90°，
∴ ∠CEO = ∠CDE.
∵ ∠OBE = ∠OEB，
∴ ∠DBE = ∠CDE. 又
∵ ∠BED = ∠DEC = 90°，
∴ △BDE∽△DCE.
∴ $\frac{S_{\triangle BDE}}{S_{\triangle DCE}}=\frac{BD^{2}}{CD^{2}}$.
∵ DE 是△BDE 与△DCE 共同的高，
∴ $\frac{S_{\triangle BDE}}{S_{\triangle DCE}}=\frac{BE}{CE}$.
∴ $\frac{BD^{2}}{CD^{2}}=\frac{BE}{CE}$

8. 如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE//AD，交⊙O于点E，连接ED. 若BD = 2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且$S1^{2}-16S2 + 4 = 0，$求△ABC的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
∵ AD 是△ABC 的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠DAC.
∵ 在⊙O 中，∠E = ∠BAD，
∴ ∠E = ∠DAC.
∵ BE//AD，
∴ ∠EBD = ∠ADC.
∴ △EBD∽△ADC. 设△EBD 与△ADC 的相似比为 k，则易得 k = $\frac{BD}{DC}$ = 2.
∴ $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ = k² = 4，即 S₁ = 4S₂.
∵ S₁² - 16S₂ + 4 = 0，
∴ 16S₂² - 16S₂ + 4 = 0.
∴ S₂ = $\frac{1}{2}$.
∵ $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{2}}$ = $\frac{BC}{CD}$ = $\frac{BD + CD}{CD}$ = 3，
∴ S△ABC = $\frac{3}{2}$