《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

9.（2024·安徽）已知抛物线$y=-x^{2}+bx(b$为常数）的顶点的横坐标比抛物线$y=-x^{2}+2x$的顶点的横坐标大1.
（1）求$b$的值.
（2）点$A(x_{1},y_{1})$在抛物线$y=-x^{2}+2x$上，点$B(x_{1}+t,y_{1}+h)$在抛物线$y=-x^{2}+bx$上.
①若$h = 3t$，且$x_{1}\geq0$，$t＞0$，求$h$的值；
②若$x_{1}=t - 1$，求$h$的最大值.

答案： 9.
(1)
∵y = - x² + 2x = -(x - 1)² + 1，
∴抛物线y = - x² + 2x的顶点的横坐标为1.
∴抛物线y = - x² + bx的顶点的横坐标为1 + 1 = 2.
∵y = - x² + bx = -(x - $\frac{b}{2}$)² + $\frac{b^{2}}{4}$，
∴抛物线y = - x² + bx的顶点的横坐标为$\frac{b}{2}$.
∴$\frac{b}{2}$ = 2，解得b = 4
(2)
∵点A(x₁，y₁)在抛物线y = - x² + 2x上，
∴y₁ = - x₁² + 2x₁.
∵点B(x₁ + t，y₁ + h)在抛物线y = - x² + 4x上，
∴y₁ + h = -(x₁ + t)² + 4(x₁ + t).
∴ - x₁² + 2x₁ + h = -(x₁ + t)² + 4(x₁ + t).
∴h = - t² - 2x₁t + 2x₁ + 4t.
①
∵h = 3t，
∴3t = - t² - 2x₁t + 2x₁ + 4t.
∴t(t + 2x₁) = t + 2x₁.
∵x₁ ≥ 0，t ＞ 0，
∴t + 2x₁ ＞ 0，即t + 2x₁ ≠ 0.
∴t = 1.
∴h = 3
②
∵x₁ = t - 1，
∴h = - t² - 2x₁t + 2x₁ + 4t = - t² - 2t(t - 1) + 2(t - 1) + 4t = - 3t² + 8t - 2 = - 3(t - $\frac{4}{3}$)² + $\frac{10}{3}$.
∵ - 3 ＜ 0，
∴当t = $\frac{4}{3}$时，h取得最大值，最大值为$\frac{10}{3}$

10.（2024·福建）已知抛物线$y=x^{2}-2ax+a(a\neq0)$经过$A(\frac{a}{2},y_{1})$、$B(3a,y_{2})$两点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数$a$，使得$y_{1}＞a$
B. 无论实数$a$取什么值，都有$y_{1}＞a$
C. 可以找到一个实数$a$，使得$y_{2}＜0$
D. 无论实数$a$取什么值，都有$y_{2}＜0$

答案： 10. C

11.（2024·泰州改编）在平面直角坐标系中，点$A$、$B$在函数$y=-(x - m - 1)^{2}-2m(a - 1)+1$的图像上$(a＞-1)$，点$A$、$B$的横坐标分别为$m - 1$、$m + a$. 现有一动点$P$从点$A$出发，沿$x$轴正方向水平运动到与$y$轴平行且经过点$B$的直线$l$上的点$C$处，再沿$l$向上运动到点$B$，点$P$运动的总路径的长$d = AC + BC$. 若当$a$为某一定值时，无论$m$取何值，点$B$到$x$轴的距离总是不变的，则此时$d$的值为________.

答案： 11. 6

12.（2024·天津改编）已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c(a、b、c$为常数，$a＞0)$的顶点为$P$，且$2a + b = 0$，对称轴与$x$轴相交于点$D$，点$M(m,1)$在抛物线上，$m＞1$，$O$为坐标原点.
（1）当$a = 1$，$c = - 1$时，求该抛物线顶点$P$的坐标；
（2）当$OM = OP=\frac{\sqrt{13}}{2}$时，求$a$的值；
（3）若$N$是抛物线上的点，且点$N$在第四象限，$\angle MDN = 90^{\circ}$，$DM = DN$，点$E$在线段$MN$上，点$F$在线段$DN$上，$NE + NF=\sqrt{2}DM$，当$DE + MF$取得最小值$\sqrt{15}$时，求$m$的值.

答案：
12.
(1)
∵a = 1，2a + b = 0，
∴2 + b = 0，解得b = - 2. 又
∵c = - 1，
∴该抛物线对应的函数表达式为y = x² - 2x - 1.
∵y = x² - 2x - 1 = (x - 1)² - 2，
∴该抛物线的顶点P的坐标为(1，- 2)
(2)
∵2a + b = 0，
∴ - $\frac{b}{2a}$ = 1.
∴抛物线y = ax² + bx + c的对称轴为直线x = 1，对称轴与x轴的交点D的坐标为(1，0)，∠ODP = 90°.
∵m ＞ 1，
∴点M(m，1)在抛物线的对称轴的右侧，且在第一象限.
∵OM = OP，
∴易得顶点P在第四象限. 如图①，过点M作MH⊥x轴于点H，则∠MHO = 90°，HM = 1，OH = m. 在Rt△MOH中，
∵HM² + OH² = OM²，OM = $\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴1 + m² = ($\frac{\sqrt{13}}{2}$)²，解得m₁ = $\frac{3}{2}$，m₂ = - $\frac{3}{2}$(不合题意，舍去).
∴点M的坐标为($\frac{3}{2}$，1). 在Rt△OPD中，
∵OD² + PD² = OP²，OP = $\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴1 + PD² = ($\frac{\sqrt{13}}{2}$)²，解得PD = $\frac{3}{2}$(负值舍去).
∵顶点P在第四象限，
∴点P的坐标为(1，- $\frac{3}{2}$).
∴该抛物线对应的函数表达式为y = a(x - 1)² - $\frac{3}{2}$.
∵点M($\frac{3}{2}$，1)在该抛物线上，
∴1 = a($\frac{3}{2}$ - 1)² - $\frac{3}{2}$，解得a = 10
(3) 如图②，过点M(m，1)作MH⊥x轴于点H，则∠MHD = 90°，HM = 1，OH = m.
∴DH = OH - OD = m - 1.
∵∠MDN = 90°，DM = DN，
∴∠DMN = ∠DNM = 45°.
∴MN² = DM² + DN² = 2DM².
∴MN = $\sqrt{2}$DM.
∵NE + NF = $\sqrt{2}$DM，
∴NE + NF = MN.
∴NF = MN - NE = ME. 在△DMN的外部，作∠DNG = 45°，且使NG = DM，连接GF、GM. 在△GNF和△DME中，
$\begin{cases}NF = ME \\ \angle GNF=\angle DME = 45^{\circ} \\ NG = MD\end{cases}$，
∴△GNF≌△DME.
∴GF = DE.
∴DE + MF = GF + MF ≥ GM.
∴当满足条件的点F落在线段GM上时，DE + MF取得最小值，此时GM = $\sqrt{15}$.
∵∠MNG = ∠DNM + ∠DNG = 90°，
∴GM² = NG² + MN² = DM² + 2DM² = 3DM².
∴($\sqrt{15}$)² = 3DM²，
∴DM² = 5.
∵∠MHD = 90°，
∴DH² + MH² = DM².
∴(m - 1)² + 1² = 5，解得m₁ = 3，m₂ = - 1(不合题意，舍去).
∴m的值为3