《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

10.（2024·江阴段考）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型号的设备，设备的生产成本为10万元/件.
（1）设第x（0＜x≤20）个生产周期设备的售价为z万元/件，z与x之间的关系如图所示，求z关于x的函数表达式（写出x的取值范围）.
（2）设第x个生产周期生产并销售完的设备为y件，y与x之间满足函数表达式$y = 5x + 40$（0＜x≤20）.在（1）的条件下，设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，求w与x之间的函数表达式.
　　　　　　　　　　

答案：
(1) 由题图，可知线段$AB$所在直线对应的函数表达式为$z = 16$。设线段$BC$所在直线对应的函数表达式为$z = kx + b(k\neq0)$。把$B(12,16)$、$C(20,14)$代入，得$\begin{cases}12k + b = 16\\20k + b = 14\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{4}\\b = 19\end{cases}$，$\therefore$线段$BC$所在直线对应的函数表达式为$z=-\frac{1}{4}x + 19$。综上所述，$z$关于$x$的函数表达式为$z=\begin{cases}16(0＜x＜12)\\-\frac{1}{4}x + 19(12\leqslant x\leqslant20)\end{cases}$
(2) 当$0＜x＜12$时，$w=(16 - 10)(5x + 40)=30x + 240$；当$12\leqslant x\leqslant20$时，$w=(-\frac{1}{4}x + 19 - 10)(5x + 40)=-\frac{5}{4}x^{2}+35x + 360$

11. 如图，在菱形ABCD中，$\angle A = 60^{\circ}$，$AB = 4$，E是边AB上一点，过点E作EF⊥AB，交AD的延长线于点F，交BD于点M，交CD于点N.设EB = x，△DMF的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
　　　　　　　　　　　

答案： 过点$D$作$DG\perp AB$于点$G$。$\because EF\perp AB$，$\therefore\angle DGB=\angle NEB=\angle NEA = 90^{\circ}$。$\because$四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AD = AB = 4$，$AB// CD$。又$\because\angle A = 60^{\circ}$，$\therefore\triangle ABD$为等边三角形。$\therefore AG = BG=\frac{1}{2}AB = 2$，$\angle ABD=\angle A = 60^{\circ}$。$\because AB// CD$，$\therefore\angle DNE=\angle NEB = 90^{\circ}$。又$\because\angle DGE=\angle GEN = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$DGEN$是矩形。$\therefore NE = DG=\sqrt{AD^{2}-AG^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$，$DN = GE = BG - BE = 2 - x$。$\because\angle DMN=\angle BME = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，$\angle DNM = 90^{\circ}$，$\therefore$易得$DM = 2DN = 2(2 - x)$。$\therefore MN=\sqrt{DM^{2}-DN^{2}}=\sqrt{[2(2 - x)]^{2}-(2 - x)^{2}}=\sqrt{3}(2 - x)$。$\because\angle F = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}=\angle DMN$，$\therefore DF = DM$。$\therefore FM = 2MN = 2\sqrt{3}(2 - x)$。$\therefore y=\frac{1}{2}FM\cdot DN=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}(2 - x)\cdot(2 - x)=\sqrt{3}(2 - x)^{2}=\sqrt{3}x^{2}-4\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$。$\because AG = BG = 2$，$\therefore$自变量$x$的取值范围是$0\leqslant x＜2$

12.（2024·青阳三模改编）如图，在菱形ABCD中，$\angle B = 60^{\circ}$，$AB = 2$.动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BAC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线ACD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x s，求y与x之间的函数表达式.
　　　　　　　　　　　

答案：
$\because$四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AB = BC = AD = CD$，$\angle B=\angle D = 60^{\circ}$。$\therefore\triangle ABC$和$\triangle ADC$都是等边三角形。易得当$x = 0$或$x = 2$时不能构成三角形。分两种情况：①当$0＜x＜2$时，如图①，过点$Q$作$QH\perp AB$于点$H$，则$\angle AHQ = 90^{\circ}$。根据题意，得$BP = AQ = x$，则$AP = 2 - x$。$\because\triangle ABC$是等边三角形，$\therefore\angle BAC = 60^{\circ}$。在$Rt\triangle AHQ$中，$\because\angle AQH = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，$\therefore$易得$AH=\frac{1}{2}AQ=\frac{1}{2}x$。$\therefore HQ=\sqrt{AQ^{2}-AH^{2}}=\sqrt{x^{2}-(\frac{1}{2}x)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$。$\therefore y=\frac{1}{2}AP\cdot HQ=\frac{1}{2}(2 - x)\times\frac{\sqrt{3}}{2}x=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}x$。②当$2＜x\leqslant4$时，如图②，过点$Q$作$QN\perp AC$于点$N$。根据题意，得$AP = CQ = x - 2$。同①，可得$QN=\frac{\sqrt{3}}{2}(x - 2)$。$\therefore y=\frac{1}{2}AP\cdot QN=\frac{1}{2}(x - 2)\times\frac{\sqrt{3}}{2}(x - 2)=\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$。综上所述，$y$与$x$之间的函数表达式为$y=\begin{cases}-\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}x(0＜x＜2)\\\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}-\sqrt{3}x+\sqrt{3}(2＜x\leqslant4)\end{cases}$