《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

8. 古希腊数学家欧多克斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将线段MN分为两条线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN和较短的一段GN的比例中项，即满足$\frac{MG}{MN}=\frac{GN}{MG}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，后人把$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$这个数称为黄金分割数，把G称为线段MN的黄金分割点.如图，在△ABC中，AB = AC = 3，BC = 4.若D、E是边BC的两个黄金分割点，则△ADE的面积为________.

答案： $10 - 4\sqrt{5}$

9. 如图①②，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，则我们称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作（画图不要求使用圆规，以下问题中所指的等腰三角形均不包括△ABC）：
（1）在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，这2个等腰三角形的顶角度数分别是______和______；
（2）在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；
（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有______个等腰三角形，其中有______个黄金等腰三角形.

答案：

(1) 画法不唯一，如图①所示 108° 36°
(2) 画法不唯一，如图②所示
(3) $2n$ $n$
　　　　　 　
　　　　　　　　　第9题

10.（2024·德阳）宽与长的比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感.已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0

答案：
D 解析：若$PB\perp PC$，则点$P$在以$BC$为直径的圆上. 如图，设圆心为点$M$，过点$M$作$MH\perp AD$于点$H$.
$\because$四边形$ABCD$是黄金矩形，$\therefore\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.$\therefore$可设$AB = (\sqrt{5}-1)a$，$BC = 2a$.$\therefore\odot M$的半径为$a$.$\because$易得$\angle A=\angle ABM=\angle MHA = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$ABMH$为矩形.$\therefore MH = AB = (\sqrt{5}-1)a$.$\because 2＜\sqrt{5}＜3$，$\therefore 1＜\sqrt{5}-1$.$\therefore (\sqrt{5}-1)a＞a$.$\therefore$边$AD$与$\odot M$相离，即点$P$不可能在$AD$上.$\therefore$边$AD$上满足$PB\perp PC$的点$P$的个数为0.
　　　　　　　

11.（达州中考）人们把$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就运用了黄金分割数.设$a = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$b = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.记$S_1=\frac{1}{1 + a}+\frac{1}{1 + b}$，$S_2=\frac{2}{1 + a^2}+\frac{2}{1 + b^2}$，…，$S_{100}=\frac{100}{1 + a^{100}}+\frac{100}{1 + b^{100}}$，则$S_1+S_2+\cdots+S_{100}=$______.

答案： 5050 解析：$\because a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$b=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\therefore ab=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\times\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1$.$\therefore a^{n}b^{n}=1$.$\therefore S_{1}=\frac{1}{1 + a}+\frac{1}{1 + b}=\frac{ab}{ab + a}+\frac{1}{1 + b}=\frac{ab}{a(b + 1)}+\frac{1}{1 + b}=\frac{b}{b + 1}+\frac{1}{1 + b}=\frac{b + 1}{b + 1}=1$，$S_{2}=\frac{2}{1 + a^{2}}+\frac{2}{1 + b^{2}}=\frac{2a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}+a^{2}}+\frac{2}{1 + b^{2}}=\frac{2a^{2}b^{2}}{a^{2}(b^{2}+1)}+\frac{2}{1 + b^{2}}=\frac{2b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{2}{1 + b^{2}}=\frac{2(b^{2}+1)}{b^{2}+1}=2$，…. 同理，可得$S_{100}=100$.$\therefore S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{100}=1 + 2+\cdots+100=\frac{(1 + 100)\times100}{2}=101\times50 = 5050$.

12.（舟山二模改编）如图，用边长为20 cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得到折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得到折痕CG.求证：G是AB的黄金分割点.

答案： 在$Rt\triangle DEC$中，由题意，得$AE = DE=\frac{1}{2}\times20 = 10(cm)$，$DC = 20 cm$.$\therefore$由勾股定理，得$EC=\sqrt{10^{2}+20^{2}}=10\sqrt{5}(cm)$. 由折叠，可知$CH = CB = 20 cm$，$GH = BG$，$\angle GHC=\angle B = 90^{\circ}$，$\therefore EH = EC - CH=(10\sqrt{5}-20)cm$. 连接$GE$. 设$BG = x cm$，则$GH = x cm$，$AG=(20 - x)cm$. 在$Rt\triangle AEG$中，由勾股定理，得$EG^{2}=AG^{2}+AE^{2}=(20 - x)^{2}+10^{2}$；在$Rt\triangle EGH$中，由勾股定理，得$EG^{2}=EH^{2}+GH^{2}=(10\sqrt{5}-20)^{2}+x^{2}$.$\therefore (20 - x)^{2}+10^{2}=(10\sqrt{5}-20)^{2}+x^{2}$，解得$x = 10\sqrt{5}-10$.$\therefore\frac{BG}{AB}=\frac{10\sqrt{5}-10}{20}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.$\therefore G$是$AB$的黄金分割点.