《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

11. 如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，F、E、M、N分别是AO、BO、CO、DO的中点. 求证：四边形ABCD∽四边形FEMN.

答案： 6.3　相似图形
11.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC.
∵F、E、M分别是AO、BO、CO的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB，EF//AB，EM//BC.
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}$，∠FEO=∠ABO，∠OEM=∠OBC.
∴∠FEO+∠OEM=∠ABO+∠OBC，即∠FEM=∠ABC.同理，可得$\frac{EM}{BC}=\frac{MN}{CD}=\frac{FN}{AD}=\frac{1}{2}=\frac{EF}{AB}$，∠EMN=∠BCD，∠FNM=∠ADC，∠EFN=∠BAD.
∴四边形ABCD∽四边形FEMN

12. 如图，矩形ABCD的长AB = 30，宽BC = 20. 是否存在这样的x的值，使矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似？若存在，请求出所有符合条件的x的值；若不存在，请说明理由.

答案： 6.3　相似图形
12.存在　分两种情况:①当$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$时，矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，此时$\frac{30 - 2x}{30}=\frac{20 - 2}{20}$，解得x=1.5;②当$\frac{B'A'}{BC}=\frac{C'B'}{AB}$时，矩形ABCD∽矩形C'B'A'D'，此时$\frac{30 - 2x}{20}=\frac{20 - 2}{30}$，解得x=9.综上所述，x的值为1.5或9

13. 如图，E是菱形ABCD对角线CA的延长线上的任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB、GD.
（1）求证：EB = GD；
（2）若∠GAE = 60°，AB = 2，AG = $\sqrt{3}$，求GD的长.

答案： 6.3　相似图形
13.
(1)
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠GAE=∠DAB.
∴∠GAE+∠GAB=∠DAB+∠GAB，即∠EAB=∠GAD.又
∵四边形ABCD、四边形AEFG是菱形，
∴AE=AG，AB=AD.
∴△ABE≌△ADG.
∴EB=GD　
(2)连接BD，交AC于点O.
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠GAE=∠DAB=60°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=2，BO⊥AC，∠OAB=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°.
∴在Rt△AOB中，易得BO=$\frac{1}{2}$AB=1.
∴由勾股定理，得AO=$\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$.由
(1)，得AE=AG，
∴AE=$\sqrt{3}$.
∴EO=AE+AO=2$\sqrt{3}$.在Rt△BOE中，由勾股定理，得EB=$\sqrt{EO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{13}$.
∴GD=EB=$\sqrt{13}$

14.（徐州期末）如图①，将1张A4纸折叠2次，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合. 如图②，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸.
（1）A4纸较长边与较短边的比为________.
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由.

答案：
6.3　相似图形
14.
(1)$\sqrt{2}$:1　
(2)A4纸与A5纸是相似图形　理由:如图，设A4纸较长边BD=a，较短边AB=b.根据题意，得BM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$a.由
(1)，得BD:AB=$\sqrt{2}$:1，即a=$\sqrt{2}$b.
∴BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b.
∴A5纸较长边与较短边的比=AB:BM=b:$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=$\sqrt{2}$:1.
∴BD:AB=AB:BM，即A4纸较长边与较短边的比=A5纸较长边与较短边的比.又
∵易知A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似.