《2025年初中必刷题七年级数学下册浙教版浙江专版》

1 [中] 若$\triangle\div\frac{a^{2}-1}{a}=\frac{1}{a - 1}$，则“$\triangle$”是 （ ）
A. $\frac{a + 1}{a}$
B. $\frac{a}{a - 1}$
C. $\frac{a}{a + 1}$
D. $\frac{a - 1}{a}$

答案： A 【解析】因为$\triangle\div\frac{a^2 - 1}{a}=\frac{1}{a - 1}$，所以$\triangle=\frac{1}{a - 1}\times\frac{a^2 - 1}{a}=\frac{a + 1}{a}$，故选 A。

2 [2023 浙江温州期末，中] 代数式$\frac{x - 2}{x^{2}-4x + 4}\div\frac{1}{x + 6}$的值为$F$（$x$取整数），则$F$的整数值有 （ ）
A. 0 个
B. 7 个
C. 8 个
D. 无数个

答案： B 【解析】原式$=\frac{x - 2}{(x - 2)^2}\times(x + 6)=\frac{x + 6}{x - 2}=\frac{x - 2 + 8}{x - 2}=1+\frac{8}{x - 2}$。因为代数式$\frac{x - 2}{x^2 - 4x + 4}\div\frac{1}{x + 6}$的值为$F$，所以$F = 1+\frac{8}{x - 2}$（$x\neq2$且$x\neq - 6$）。当$x - 2=\pm1,\pm2,\pm4,\pm8$，即$x = 3,1,4,0,6,-2,10,-6$时，$1+\frac{8}{x - 2}$为整数值。因为$x\neq2$且$x\neq - 6$，所以当$x = 3,1,4,0,6,-2,10$时，$F$为整数值，故选 B。

3 [中] 如果$\frac{m}{3}=\frac{n}{2}\neq0$，那么代数式$\frac{3m - n}{4m^{2}-n^{2}}\cdot(2m + n)$的值是________.

答案： $\frac{7}{4}$ 【解析】原式$=\frac{3m - n}{(2m + n)(2m - n)}\cdot(2m + n)=\frac{3m - n}{2m - n}$。设$\frac{m}{3}=\frac{n}{2}=k(k\neq0)$，则$m = 3k$，$n = 2k$，所以原式$=\frac{9k - 2k}{6k - 2k}=\frac{7k}{4k}=\frac{7}{4}$，故答案为$\frac{7}{4}$。

4 [2024 浙江杭州调研，中] 八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法的题目：
甲：它是一个整式与一个分式相乘. 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解. 丙：计算结果是$\frac{1}{x - 2}$. 请你写出一个符合上述条件的题目：________.

答案： $(x + 2)\cdot\frac{1}{x^2 - 4}$（答案不唯一） 【解析】由题意得，符合条件的分式乘法的题目可以是$(x + 2)\cdot\frac{1}{x^2 - 4}$，故答案为$(x + 2)\cdot\frac{1}{x^2 - 4}$（答案不唯一）。

5 [2024 浙江宁波期末，中] 定义$a※b=(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$. 设$A$为代数式，若$A※\frac{1}{4x^{2}-16y^{2}}=\frac{x - 2y}{x + 2y}$，则$A =$________.

答案： $(x - 2y)^2$ 【解析】因为$(a + b)^2-(a - b)^2=(a + b + a - b)(a + b - a + b)=4ab$，所以$a※b=(a + b)^2-(a - b)^2=4ab$。因为$A※\frac{1}{4x^2 - 16y^2}=\frac{x - 2y}{x + 2y}$，所以$4A\cdot\frac{1}{4x^2 - 16y^2}=\frac{x - 2y}{x + 2y}$，所以$A=\frac{x - 2y}{x + 2y}\div\frac{4}{4x^2 - 16y^2}=\frac{x - 2y}{x + 2y}\cdot\frac{4(x + 2y)(x - 2y)}{4}=(x - 2y)^2$，故答案为$(x - 2y)^2$。

6 [中] 已知$A = xy - x^{2},B=\frac{x^{2}-2xy + y^{2}}{xy},C=\frac{x^{2}}{x - y}$，若$A\div B = C\times D$，求$D$.

答案： 【解】$A = xy - x^2=x(y - x)$，$B=\frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy}=\frac{(x - y)^2}{xy}$，$C=\frac{x^2}{x - y}$。因为$A\div B = C\times D$，所以$x(y - x)\div\frac{(x - y)^2}{xy}=\frac{x^2}{x - y}\times D$，所以$D = x(y - x)\times\frac{xy}{(x - y)^2}\times\frac{x - y}{x^2}=-y$，所以$D = -y$。

7 [2023 山东潍坊期中，中] 如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为$\frac{1}{x + 3}$.
（1）求被墨水污染的部分；
（2）该题化简的结果$\frac{1}{x + 3}$能等于$\frac{1}{7}$吗？为什么？
化简：$\frac{x - 4}{x^{2}-9}\div\frac{█}{x - 3}$的结果为________.

答案： 【解】 -
(1)设被墨水污染的部分是$A$。由题意得$\frac{x - 4}{x^2 - 9}\div\frac{A}{x - 3}=\frac{1}{x + 3}$，即$\frac{x - 4}{(x + 3)(x - 3)}\cdot\frac{x - 3}{A}=\frac{1}{x + 3}$，所以$\frac{x - 4}{A}=1$，所以$A = x - 4$，故被墨水污染的部分为$x - 4$。 -
(2)不能，理由如下：若$\frac{1}{x + 3}=\frac{1}{7}$，则$x = 4$。原式$=\frac{x - 4}{x^2 - 9}\div\frac{x - 4}{x - 3}=\frac{x - 4}{x^2 - 9}\cdot\frac{x - 3}{x - 4}$，当$x = 4$时，原分式无意义，所以结果$\frac{1}{x + 3}$不能等于$\frac{1}{7}$。

8 核心素养·推理能力 [难] 观察下列各式：$(x\neq0)$
$(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{x}+1)=\frac{1}{x^{2}}-1$；
$(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1)=\frac{1}{x^{3}}-1$；
$(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1)=\frac{1}{x^{4}}-1$；
……
（1）从上面的算式及计算结果发现规律，根据你发现的规律直接填空：$(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{x^{7}}+\frac{1}{x^{6}}+\frac{1}{x^{5}}+\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1)=$________.
（2）利用数学的整体思想解决问题，设$\frac{1}{x}=m$（$m\neq1$），分解因式：$m^{7}+m^{6}+m^{5}+m^{4}+m^{3}+m^{2}+m + 1$.
（3）已知$1 + 2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}=a\cdot b\cdot c\cdot d,a,b,c,d$都是正整数，且$a＞b＞c＞d$. 先化简，再求值：$(-\frac{b}{cd})^{2}\div(-\frac{5b}{17c})\times\frac{6b}{a}$.

答案： 【解】 -
(1)根据题意，得$(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{x^7}+\frac{1}{x^6}+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1)=\frac{1}{x^8}-1$，故答案为$\frac{1}{x^8}-1$。 -
(2)由
(1)可知，$(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{x^7}+\frac{1}{x^6}+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1)=\frac{1}{x^8}-1$，所以$\frac{1}{x^7}+\frac{1}{x^6}+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1=(\frac{1}{x^8}-1)\div(\frac{1}{x}-1)$。因为$\frac{1}{x}=m(m\neq1)$，所以$m^7 + m^6 + m^5 + m^4 + m^3 + m^2 + m + 1=\frac{m^8 - 1}{m - 1}=\frac{(m^4 - 1)(m^4 + 1)}{m - 1}=\frac{(m^2 - 1)(m^2 + 1)(m^4 + 1)}{m - 1}=\frac{(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1)(m^4 + 1)}{m - 1}=(m + 1)(m^2 + 1)(m^4 + 1)$，所以$m^7 + m^6 + m^5 + m^4 + m^3 + m^2 + m + 1=(m + 1)(m^2 + 1)(m^4 + 1)$。 -
(3)由
(2)可知，$m^7 + m^6 + m^5 + m^4 + m^3 + m^2 + m + 1=(m + 1)(m^2 + 1)(m^4 + 1)$，所以当$m = 2$时，$2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1=(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)=3\times5\times17$。因为$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7=a\cdot b\cdot c\cdot d$，所以$a\cdot b\cdot c\cdot d=1\times3\times5\times17$。又因为$a$，$b$，$c$，$d$都是正整数，且$a＞b＞c＞d$，所以$a = 17$，$b = 5$，$c = 3$，$d = 1$。$(-\frac{b}{cd})^2\div(-\frac{5b}{17c})\times\frac{6b}{a}=\frac{b^2}{c^2d^2}\times(-\frac{17c}{5b})\times\frac{6b}{a}=-\frac{17\times6b^2}{5acd^2}$。当$a = 17$，$b = 5$，$c = 3$，$d = 1$时，原式$=-\frac{17\times6\times5^2}{5\times17\times3\times1^2}=-10$。