《2025年初中必刷题七年级数学下册浙教版浙江专版》

2[2024江苏南通质检，中]已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax + 2(a - 1)y = a,\\2x + 2y = 3\end{cases}$有下列几个说法：①一定有唯一解；②可能有无数个解；③当$a = 2$时，方程组无解；④若方程组的解中$x$的值为0，则$a = \frac{3}{2}$.其中正确的说法有 （ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个

答案： C

3[2023浙江宁波期末，中]已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}mx + 2y = 10,\\3x + 2y = 0\end{cases}$有整数解，其中$m$为负整数，则$m$的值为________.

答案： -2

4[2023福建福州调研，中]已知$2a + 2b + ab = \frac{2}{3}$，且$a + b + 3ab = -\frac{1}{2}$，则$a + b + ab$的值为________.

答案： $\frac{1}{6}$

5[2023浙江杭州萧山区期末，中]小丽和小明同时解一道关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax + y = 3,\\x - by = 5\end{cases}$，其中$a,b$为常数. 在解方程组的过程中，小丽看错常数“$a$”，解得$\begin{cases}x = -1,\\y = 3\end{cases}$；小明看错常数“$b$”，解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$，则原方程组正确的解为________.

答案： $\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$

6[2024江苏南京期中，中]阅读并回答问题.
(1)填空：解方程组$\begin{cases}(x + 1) + 2(y - 2) = 5,\\2(x + 1) - 3(y - 2) = 3.\end{cases}$令$m = x + 1,n = y - 2$，则原方程组可化为$\begin{cases}m + 2n = 5,\\2m - 3n = 3.\end{cases}$
关于$m,n$的方程组的解为________，再将$m,n$的值分别代入$m = x + 1,n = y - 2$，则原方程组的解为________.
(2)已知关于$x,y$的方程组满足$\begin{cases}(x + 1) + 2(y - 2) = 5a,\\2(x + 1) - 3(y - 2) = 3a,\end{cases}$且$x + y = 3$，求$a$的值.
(3)运用（1）中的方法，解方程组$\begin{cases}5(x - 1)^2 - 3\sqrt{y - 1} = 17,\\2(x - 1)^2 - \sqrt{y - 1} = 7.\end{cases}$

答案： $\begin{cases}m = 3\\n = 1\end{cases}$@@$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$@@【解】
(2)令$m = x + 1$，$n = y - 2$，则原方程组可化为$\begin{cases}m + 2n = 5a,①\\2m - 3n = 3a,②\end{cases}$，$①\times2 - ②$，得$7n = 7a$，解得$n = a$，把$n = a$代入$①$，得$m + 2a = 5a$，解得$m = 3a$，$\therefore$关于$m$，$n$的方程组的解为$\begin{cases}m = 3a\\n = a\end{cases}$。再将$m$，$n$的值分别代入$m = x + 1$，$n = y - 2$，得$3a = x + 1$，$a = y - 2$，解得$x = 3a - 1$，$y = a + 2$，$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}x = 3a - 1\\y = a + 2\end{cases}$。$\because x + y = 3$，$\therefore 3a - 1 + a + 2 = 3$，解得$a = \frac{1}{2}$。
(3)令$m = (x - 1)^2$，$n = \sqrt{y - 1}$，则原方程组可化为$\begin{cases}5m - 3n = 17,①\\2m - n = 7,②\end{cases}$，$②\times3 - ①$，得$m = 4$，把$m = 4$代入$②$，得$8 - n = 7$，解得$n = 1$，$\therefore$关于$m$，$n$的方程组的解为$\begin{cases}m = 4\\n = 1\end{cases}$。再将$m$，$n$的值分别代入$m = (x - 1)^2$，$n = \sqrt{y - 1}$，得$4 = (x - 1)^2$，$1 = \sqrt{y - 1}$，解得$x = 3$或$-1$，$y = 2$，$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$。

7核心素养运算能力[2023广东广州越秀区期末，较难]阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想.
(1)解方程组$\begin{cases}3x - 2y = -1,\\3x + y = 5\end{cases}$，求得此方程组的解为________；
(2)解关于$m,n$的方程组$\begin{cases}3(m + n) - 2(n + 3) = -a,\\3(m + n) + (n + 3) = 5a\end{cases}$时，可以把$m + n,n + 3$看成一个整体，则$2m + n =$________；
(3)若关于$m,n$的方程组$\begin{cases}am + bn = 7,\\2m - bn = -2\end{cases}$与$\begin{cases}3m + n = 5,\\am - bn = -1\end{cases}$有相同的解，求$a,b$的值.

答案： $\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$@@3@@【解】
(3)$\because$方程组$\begin{cases}am + bn = 7\\2m - bn = -2\end{cases}$与$\begin{cases}3m + n = 5\\am - bn = -1\end{cases}$有相同的解，$\therefore$方程组$\begin{cases}am + bn = 7\\am - bn = -1\end{cases}$与$\begin{cases}2m - bn = -2\\3m + n = 5\end{cases}$有相同的解。$\begin{cases}am + bn = 7,①\\am - bn = -1,②\end{cases}$，$① + ②$，得$am = 3$，将$am = 3$代入$①$，得$bn = 4$。$\because 2m - bn = -2$，$\therefore m = 1$，$\therefore n = 2$，$\therefore a = 3$，$b = 2$。