《2025年初中必刷题七年级数学下册浙教版浙江专版》

1[2024浙江衢州期中，中]若A = (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1)×…×(2¹⁰²⁴ + 1) + 1，则A的个位数字为 （ ）
A. 2
B. 1
C. 6
D. 8

答案： C 【解析】$A=(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)\times\cdots\times(2^{1024}+1)+1=(2 - 1)(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)\times\cdots\times(2^{1024}+1)+1=2^{2048}-1 + 1 = 2^{2048}$. $\because 2^{1}=2$，$2^{2}=4$，$2^{3}=8$，$2^{4}=16$，$2^{5}=32$，$2^{6}=64$，$2^{7}=128$，$2^{8}=256$，$2^{9}=512$，$\cdots$，$\therefore 2^{1}$，$2^{2}$，$2^{3}$，$\cdots$的个位数字按$2$，$4$，$8$，$6$依次循环. $\because 2048\div4 = 512$，$\therefore 2^{2048}$的个位数字与$2^{4}$的个位数字相同，$\therefore 2^{2048}$的个位数字为$6$. 故选C.

2[中]已知x - $\frac{1}{x}$ = 4，则x² + $\frac{1}{x²}$的值为 （ ）
A. 6
B. 16
C. 14
D. 18

答案： D 【解析】$\because x-\frac{1}{x}=4$，$\therefore(x-\frac{1}{x})^{2}=x^{2}-2\times x\times\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=16$，$\therefore x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=18$，故选D.

3[2024浙江杭州调研，中]若将四张长为a、宽为b(a ＞ b)的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a + b的正方形，则图中阴影部分的面积为 （ ）

A. 2ab - b²
B. 2ab - 2b²
C. a² - 4b²
D. 2b² - ab

答案： B 【解析】阴影部分的面积为$(a + b)^{2}-\frac{(b + a + b)\times b}{2}-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}ab-\frac{(b + a + b)\times b}{2}-(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-(a + 2b)\times b - ab-(a - b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}-ab-2b^{2}-ab-a^{2}+2ab - b^{2}=2ab-2b^{2}$. 故选B.

4[2024浙江台州质检，较难]已知(x - 2023)² + (x - 2025)² = 4050，则(x - 2024)²的值是 （ ）
A. 1
B. 2025
C. 2024
D. 2023

答案： C 【解析】$\because(x - 2023)-(x - 2025)=2$，$\therefore(x - 2023)^{2}-2(x - 2023)(x - 2025)+(x - 2025)^{2}=4$. $\because(x - 2023)^{2}+(x - 2025)^{2}=4050$，$\therefore 2(x - 2023)(x - 2025)=4046$，$\therefore(x - 2023)(x - 2025)=2023$，$\therefore(x - 2024 + 1)(x - 2024 - 1)=2023$，$\therefore(x - 2024)^{2}-1 = 2023$，$\therefore(x - 2024)^{2}=2024$. 故选C.

5[2023浙江丽水中，中]若关于x的多项式4x² + (m - 1)x + 9是完全平方式，则m的值为________.

答案： 13或 - 11 【解析】$\because$关于$x$的多项式$4x^{2}+(m - 1)x + 9$是完全平方式，$\therefore(m - 1)x=\pm2\times3\times2x$. 当$(m - 1)x = 2\times3\times2x = 12x$时，$m = 13$；当$(m - 1)x=-2\times3\times2x=-12x$时，$m=-11$. 综上所述，$m$的值为$13$或$-11$.

6[中]若A = x² + 2x - 6y，B = -y² + 4x - 11，则A，B的大小关系为________.

答案： $A＞B$ 【解析】$A - B=x^{2}+2x-6y-(-y^{2}+4x - 11)=x^{2}+2x-6y + y^{2}-4x + 11=x^{2}-2x + y^{2}-6y + 11=x^{2}-2x + 1 + y^{2}-6y + 9=(x - 1)^{2}+(y - 3)^{2}+1$. $\because(x - 1)^{2}\geqslant0$，$(y - 3)^{2}\geqslant0$，$\therefore(x - 1)^{2}+(y - 3)^{2}+1＞0$，即$A - B＞0$，$\therefore A＞B$. 故答案为$A＞B$.

7[2023湖北黄冈质检，中]已知实数x，y，z满足x² + y² + z² = 4，则(2x - y)² + (2y - z)² + (2z - x)²的最大值是________.

答案： 28 【解析】$\because$实数$x$，$y$，$z$满足$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$，$\therefore(2x - y)^{2}+(2y - z)^{2}+(2z - x)^{2}=5(x^{2}+y^{2}+z^{2})-4(xy + yz + xz)=20-2[(x + y + z)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})]=28-2(x + y + z)^{2}\leqslant28$，$\therefore$当$x + y + z = 0$时，$(2x - y)^{2}+(2y - z)^{2}+(2z - x)^{2}$有最大值，最大值是$28$. 故答案为$28$.

8[中]有一系列等式：
1×2×3×4 + 1 = 5² = (1² + 3×1 + 1)²；
2×3×4×5 + 1 = 11² = (2² + 3×2 + 1)²；
3×4×5×6 + 1 = 19² = (3² + 3×3 + 1)²；
4×5×6×7 + 1 = 29² = (4² + 3×4 + 1)²；
……
(1)根据你的观察、归纳及发现的规律，写出8×9×10×11 + 1的结果为________.
(2)试猜想n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1是哪一个数的平方，并说明理由.

答案： 【解】
(1)根据题意，得$8\times9\times10\times11 + 1=(8^{2}+3\times8 + 1)^{2}=89^{2}$. 故答案为$89^{2}$.
(2)猜想：$n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+1=(n^{2}+3n + 1)^{2}$. 理由如下：等式左边$=(n^{2}+3n)(n^{2}+3n + 2)+1=n^{4}+3n^{3}+2n^{2}+3n^{3}+9n^{2}+6n + 1=n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n + 1$，等式右边$=(n^{2}+3n + 1)^{2}=(n^{2}+1)^{2}+2\cdot3n\cdot(n^{2}+1)+9n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1+6n^{3}+6n + 9n^{2}=n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n + 1$，所以左边$=$右边.

9核心素养·几何直观[2023江苏镇江期末，较难]
(1)从图(1)~(3)中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于a，b的等量关系是________.
(2)尝试解决：①已知：m + n = 2，m² + n² = 7，则mn = ________；
②已知：2a + b = 3，ab = 1，求(2a - b)²的值；
③已知：(4 - x)(5 - x) = 6，求(4 - x)² + (5 - x)²的值.
(3)填数游戏：如图(4)，把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于21，将每边四个数字的平方和分别记作A，B，C，已知A + B + C = 411. 如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x，y，x + y，求xy的值.

答案： 【解】
(1)题图
(1)：$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$； 题图
(2)：$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$； 题图
(3)：$4ab=(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$. 故答案为$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$（或$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$或$4ab=(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$）.
(2)①$\because m + n = 2$，$\therefore(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}=4$. $\because m^{2}+n^{2}=7$，$\therefore 7+2mn = 4$，$\therefore mn=-\frac{3}{2}$，故答案为$-\frac{3}{2}$. ②$\because(2a - b)^{2}=(2a + b)^{2}-8ab$，$2a + b = 3$，$ab = 1$，$\therefore(2a - b)^{2}=3^{2}-8\times1 = 1$. ③$\because(4 - x)^{2}+(5 - x)^{2}=[(4 - x)-(5 - x)]^{2}+2(4 - x)(5 - x)=1+2(4 - x)(5 - x)=1+2\times6 = 13$.
(3)数字$1～9$的和为$1 + 2+3 + 4+5 + 6+7 + 8+9 = 45$. $\because$各边上的四个数字的和都等于$21$，$\therefore 21\times3-45 = 18$，$\therefore x + y+(x + y)=18$，即$x + y = 9$. $\because$每边四个数字的平方和分别记作$A$，$B$，$C$，且$A + B + C = 411$，又$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}=285$，$\therefore x^{2}+y^{2}+(x + y)^{2}=411-285 = 126$，$\therefore x^{2}+y^{2}+81 = 126$，$\therefore x^{2}+y^{2}=45$，$\therefore(x + y)^{2}-2xy = 45$，$\therefore xy = 18$.