《2025年初中必刷题七年级数学下册浙教版浙江专版》

1 下列分式：$\frac{x^{2}-2x}{2y - xy}$，$\frac{x + 1}{x^{2}+1}$，$\frac{-2}{a^{2}-2a}$，$\frac{12xy}{9z^{3}}$中，最简分式有 （ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B

2 已知$M$表示一个整式，若$\frac{2x}{M}$是最简分式，则$M$可以是 （ ）
A. 7
B. 8x
C. $x^{2}-x$
D. $y^{2}$

答案： D

3 新考向开放性试题 请你写出一个最简分式，同时满足以下三个条件：$x = 2$时，分式无意义；$x = 3$时，分式值为0；$x = 4$时，分式值为4. 这个分式是________.

答案： $\frac{8(x - 3)}{x - 2}$（答案不唯一）

4 [2024浙江宁波期末]分式$\frac{2xy^{4}}{6x^{2}y^{3}}$约分的结果是________，依据为________.

答案： $\frac{y}{3x}$@@分式的基本性质

5 [2024浙江杭州模拟]分式$\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x + 1}$约分的结果是________.

答案： $\frac{x + 1}{x - 1}$

6 如图，设甲图中阴影部分的面积为$S_{1}$，乙图中阴影部分的面积为$S_{2}$，$k=\frac{S_{1}}{S_{2}}(a＞b＞0)$，则有（ ）

A. $k＞2$
B. $1＜k＜2$
C. $\frac{1}{2}＜k＜1$
D. $0＜k＜\frac{1}{2}$

答案： B

7 [2023浙江杭州西湖区调研]如果$a$，$b$，$c$是正数，且满足$a + b + c = 6$，$\frac{1}{a + b}+\frac{1}{b + c}+\frac{1}{c + a}=\frac{2}{3}$，则$\frac{a}{b + c}+\frac{b}{c + a}+\frac{c}{a + b}$的值为________.

答案： 1

8 先约分，再求值：$\frac{a^{3}-4ab^{2}}{a^{3}-4a^{2}b + 4ab^{2}}$，其中$a = -2$，$b=\frac{1}{2}$.

答案： 【解】原式$=\frac{a(a^{2}-4b^{2})}{a(a^{2}-4ab + 4b^{2})}=\frac{a(a + 2b)(a - 2b)}{a(a - 2b)^{2}}=\frac{a + 2b}{a - 2b}$。 当$a=-2$，$b=\frac{1}{2}$时，原式$=\frac{-2+2\times\frac{1}{2}}{-2-2\times\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$。

9 新考法 [2024浙江衢州期末]我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”. 例如：$\frac{4x^{2}-8x}{x - 2}=\frac{4x(x - 2)}{x - 2}=4x$，则称分式$\frac{4x^{2}-8x}{x - 2}$是“巧分式”，$4x$为它的“巧整式”.
根据上述定义，解决下列问题.
（1）下列分式中是“巧分式”的有________（填序号）.
①$\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$；②$\frac{2x + 5}{x + 3}$；③$\frac{x^{2}-y^{2}}{x + y}$.
（2）若分式$\frac{x^{2}-4x + m}{x + 3}$（$m$为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，求$m$的值.
（3）若分式$\frac{-2x^{3}+2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$.
①求整式$A$.
②$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是“巧分式”吗？

答案： ①③@@因为分式$\frac{x^{2}-4x + m}{x + 3}$（$m$为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，所以$(x + 3)(x - 7)=x^{2}-4x + m$，所以$x^{2}-4x - 21=x^{2}-4x + m$，所以$m=-21$。@@因为分式$\frac{-2x^{3}+2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$，所以$A=\frac{-2x^{3}+2x}{1 - x}=\frac{2x(1 - x^{2})}{1 - x}=\frac{2x(1 - x)(1 + x)}{1 - x}=2x(1 + x)$，即$A = 2x^{2}+2x$。@@是。因为$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}=\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{2x^{2}+2x}=\frac{2x(x^{2}+2x + 1)}{2x(x + 1)}=\frac{2x(x + 1)^{2}}{2x(x + 1)}=x + 1$，$x + 1$是整式，所以$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是“巧分式”。