《2025年初中必刷题七年级数学下册浙教版浙江专版》

1[中]下列各数中，能整除$80^{2} - 80$的是 （ ）
A. 78
B. 79
C. 81
D. 82

答案： B

2[中]对于任意的有理数$a,b,c,d$，我们规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，如$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1×4 - 2×3 = - 2$，则$\begin{vmatrix}(a + c)&(b - a)^{2}\\(a - c)&(a - b)^{2}\end{vmatrix}$的值为 （ ）
A. $2c(a - b)^{2}$
B. $2a(a - b)^{2}$
C. $(a - c)(a - b)$
D. $(a - c)(a + c)$

答案： A

3[2024 福建泉州期中，中]若边长为$a,b$的长方形的周长为 10，面积为 6，则$a^{3}b + ab^{3}$的值为 （ ）
A. 15
B. 30
C. 60
D. 78

答案： D

4[中]已知$(2x - 10)(x - 2) - (x - 2)(x - 13)$可分解因式为$(x + a)(x + b)$，则$a^{b}$的值是________.

答案： $-8$或$\frac{1}{9}$

5[2024 浙江杭州期末，较难]若$x = 1$，则$1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)^{2} + x(1 + x)^{3} + \cdots + x(1 + x)^{2024}=$________.

答案： $2^{2025}$

6[中]已知$x,y$满足：$(x + y)^{2} = 5,(x - y)^{2} = 41$，求$x^{3}y + xy^{3}$的值.

答案： 【解】$\because(x + y)^{2}=5$，$(x - y)^{2}=41$，$\therefore(x + y)^{2}+(x - y)^{2}=46$，即$x^{2}+2xy + y^{2}+x^{2}-2xy + y^{2}=46$，$\therefore2(x^{2}+y^{2})=46$，$\therefore x^{2}+y^{2}=23$。 又$\because(x + y)^{2}-(x - y)^{2}=-36$，$\therefore x^{2}+2xy + y^{2}-x^{2}+2xy - y^{2}=-36$，$\therefore4xy=-36$，$\therefore xy=-9$，$\therefore x^{3}y+xy^{3}=xy(x^{2}+y^{2})=-9\times23=-207$。

7[新考法][2024 浙江金华质检，较难]每个人都拥有一个快乐数字，我们把自己出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差就是我们自己的快乐数字. 比如我国著名的数学家华罗庚出生于 1910 年，他的快乐数字是$1910-(1 + 9 + 1 + 0)=1899$.
（1）某人出生于 1949 年，他的快乐数字是________.
（2）再举几个例子并观察，这些快乐数字都能被________整除，请用所学知识说明理由.
（3）请你重新对快乐数字定义，并写出一个你找到的规律（直接写出结果，不用说明）.

答案： $1926$@@$9$@@(答案不唯一)定义如下：若一个四位数的千位数字与十位数字相等，个位数字与百位数字相等，则称这个数为快乐数字。 规律：快乐数字能被$101$整除。 令某个四位数为$1000a + 100b + 10a + b(a\neq0)$，$\therefore1000a + 100b + 10a + b=1010a + 101b=101(10a + b)$，$\therefore$该四位数是$101$的倍数，$\therefore$快乐数字能被$101$整除。

8[核心素养·运算能力][2024 江苏南京期末，较难]《义务教育数学课程标准(2022 年版)》关于运算能力的解释：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力. 因此，我们遇到没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答. 下面介绍一种因式分解的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解.
例题：用拆项补项法分解因式$x^{3} - 9x + 8$.
添加$-x^{2}$和$x^{2}$，
则原式$=x^{3} - x^{2} + x^{2} - 9x + 8$
$=x^{3} - x^{2} + x^{2} - x - 8x + 8$
$=x^{2}(x - 1) + x(x - 1) - 8(x - 1)$
$=(x - 1)(x^{2} + x - 8)$.
请你结合自己的思考和理解分解下列因式：
（1）$x^{2} + 9x - 10$；
（2）$x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$；
（3）$x^{4} + 5x^{3} + x^{2} - 20x - 20$.

答案： 【解】
(1)$x^{2}+9x - 10=x^{2}-x + 10x - 10=x(x - 1)+10(x - 1)=(x - 1)(x + 10)$。
(2)$x^{3}-2x^{2}-5x + 6=x^{3}-x^{2}-x^{2}+x - 6x + 6=x^{2}(x - 1)-x(x - 1)-6(x - 1)=(x - 1)(x^{2}-x - 6)=(x - 1)(x^{2}-3x + 2x - 6)=(x - 1)[x(x - 3)+2(x - 3)]=(x - 1)(x - 3)(x + 2)$。
(3)$x^{4}+5x^{3}+x^{2}-20x - 20=x^{4}-2x^{3}+7x^{3}-14x^{2}+15x^{2}-30x + 10x - 20=x^{3}(x - 2)+7x^{2}(x - 2)+15x(x - 2)+10(x - 2)=(x - 2)(x^{3}+7x^{2}+15x + 10)=(x - 2)(x^{3}+2x^{2}+5x^{2}+10x + 5x + 10)=(x - 2)[x^{2}(x + 2)+5x(x + 2)+5(x + 2)]=(x - 2)(x + 2)(x^{2}+5x + 5)$。