《2025年初中必刷题七年级数学下册浙教版浙江专版》

10[2024浙江金华期中，中]阅读材料：方程$x^{2}+2x - 35 = 0$可以按下面的方法解答.
分解因式：$x^{2}+2x - 35$.
①竖分二次项与常数项：$x^{2}=x\cdot x$，$-35=(-5)\times(+7)$.
②交叉相乘，验中项：
$\Rightarrow7x+(-5x)=2x$.
③横向写出两因式：$x^{2}+2x - 35=(x + 7)(x - 5)$.
根据乘法原理：若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$，所以方程$x^{2}+2x - 35 = 0$可以这样求解：方程左边因式分解，得$(x + 7)(x - 5)=0$，所以原方程的解为$x_{1}=-7$，$x_{2}=5$.
试用上述方法和原理解下列方程：
(1)$x^{2}+5x + 4 = 0$；
(2)$x^{2}-6x - 7 = 0$；
(3)$2x^{2}+x - 6 = 0$.

答案： 10.【解】
(1)方程左边因式分解，得$(x + 1)(x + 4)= 0$，所以$x + 1 = 0$或$x + 4 = 0$，所以原方程的解为$x_{1}=-1$，$x_{2}=-4$。
(2)方程左边因式分解，得$(x + 1)(x - 7)= 0$，所以$x + 1 = 0$或$x - 7 = 0$，所以原方程的解为$x_{1}=-1$，$x_{2}=7$。
(3)方程左边因式分解，得$(2x - 3)(x + 2)= 0$，所以$2x - 3 = 0$或$x + 2 = 0$，所以原方程的解为$x_{1}=1.5$，$x_{2}=-2$。 

11[难]用双十字相乘法分解因式：
例如：$20x^{2}+9xy - 18y^{2}-18x + 33y - 14$.

$\because4\times6 + 5\times(-3)=9$，$4\times(-7)+5\times2=-18$，$-3\times(-7)+2\times6=33$，
$\therefore20x^{2}+9xy - 18y^{2}-18x + 33y - 14=(4x - 3y + 2)(5x + 6y - 7)$.
双十字相乘法的理论依据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案. 按此方法分解因式：$6x^{2}-5xy - 6y^{2}+2xz + 23yz - 20z^{2}$.

答案： 11.【解】$6x^{2}-5xy - 6y^{2}+2xz + 23yz - 20z^{2}$。 $\begin{array}{ccc}3&2&-5\\2&-3&4\end{array}$ $\because 3\times(-3)+2\times2=-5$，$3\times4 + 2\times(-5)=2$，$2\times4+(-3)\times(-5)=23$，$\therefore 6x^{2}-5xy - 6y^{2}+2xz + 23yz - 20z^{2}=(3x + 2y - 5z)(2x - 3y + 4z)$。