《2025年初中必刷题七年级数学下册浙教版浙江专版》

1. [2023山东济宁中考]下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是 （ ）
A. $(a + 3)^2=a^2+6a + 9$
B. $a^2-4a + 4=a(a - 4)+4$
C. $5ax^2-5ay^2=5a(x + y)(x - y)$
D. $a^2-2a - 8=(a - 2)(a + 4)$

答案： C

2. [2024云南中考]分解因式：$a^3-9a =$ （ ）
A. $a(a - 3)(a + 3)$
B. $a(a^2+9)$
C. $(a - 3)(a + 3)$
D. $a^2(a - 9)$

答案： A

3. [2024浙江中考]因式分解：$a^2-7a=$________.

答案： $a(a - 7)$

4. [2024山东菏泽中考]因式分解：$x^2y+2xy=$________.

答案： $xy(x + 2)$

5. [2024黑龙江绥化中考]分解因式：$2mx^2-8my^2=$________.

答案： $2m(x + 2y)(x - 2y)$

6. [2024内蒙古通辽中考]因式分解：$3ax^2-6axy+3ay^2=$________.

答案： $3a(x - y)^2$

7. [2024山东威海中考]因式分解：$(x + 2)(x + 4)+1=$________.

答案： $(x + 3)^2$

8. [2024四川广元中考]分解因式：$(a + 1)^2-4a=$________.

答案： $(a - 1)^2$

9. [2023河北中考]若$k$为任意整数，则$(2k + 3)^2-4k^2$的值总能 （ ）
A. 被2整除
B. 被3整除
C. 被5整除
D. 被7整除

答案： B

10. [2024广西中考]如果$a + b = 3$，$ab = 1$，那么$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值为 （ ）
A. 0
B. 1
C. 4
D. 9

答案： D

11. [2024四川凉山州中考]已知$a^2-b^2 = 12$，且$a - b=-2$，则$a + b=$_______.

答案： $-6$

12. [2023山东济宁中考]已知实数$m$满足$m^2-m - 1 = 0$，则$2m^3-3m^2-m + 9=$________.

答案： 8

13. [2024安徽中考]数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数$N$能表示为$x^2-y^2(x,y$均为自然数)”的问题.
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（$n$为正整数）：
|$N$|奇数|4的倍数|
|----|----|----|
|表示结果|$1 = 1^2-0^2$|$4 = 2^2-0^2$|
||$3 = 2^2-1^2$|$8 = 3^2-1^2$|
||$5 = 3^2-2^2$|$12 = 4^2-2^2$|
||$7 = 4^2-3^2$|$16 = 5^2-3^2$|
||$9 = 5^2-4^2$|$20 = 6^2-4^2$|
||$\cdots$|$\cdots$|
|一般结论|$2n - 1=n^2-(n - 1)^2$|$4n=$________|
按上表规律，完成下列问题：
(i)$24 = ($________$)^2-($________$)^2$；
(ii)$4n=$________；
（2）兴趣小组还猜测：像$2,6,10,14,\cdots$这些形如$4n - 2$（$n$为正整数）的正整数$N$不能表示为$x^2-y^2(x,y$均为自然数). 师生一起研讨，分析过程如下：
假设$4n - 2=x^2-y^2$，其中$x,y$均为自然数.
分下列三种情形分析：
①若$x,y$均为偶数，设$x = 2k$，$y = 2m$，其中$k,m$均为自然数，则$x^2-y^2=(2k)^2-(2m)^2=4(k^2-m^2)$为4的倍数. 而$4n - 2$不是4的倍数，矛盾. 故$x,y$不可能均为偶数.
②若$x,y$均为奇数，设$x = 2k + 1$，$y = 2m + 1$，其中$k,m$均为自然数，则$x^2-y^2=(2k + 1)^2-(2m + 1)^2=$________为4的倍数. 而$4n - 2$不是4的倍数，矛盾. 故$x,y$不可能均为奇数.
③若$x,y$一个是奇数一个是偶数，则$x^2-y^2$为奇数. 而$4n - 2$是偶数，矛盾. 故$x,y$不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知，猜测正确.
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.

答案： $(n + 1)^2-(n - 1)^2$@@7@@5@@$(n + 1)^2-(n - 1)^2$@@$4(k^2-m^2+k - m)$