《2025年初中必刷题七年级数学下册浙教版浙江专版》

1新考向|跨学科综合[中]如图(1)，当光线从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为4∶3. 如图(2)，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为α，β，在水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）


A. $\frac{3}{4}(\alpha+\beta)=\gamma$
B. $\frac{3}{4}(\alpha+\beta)=135^{\circ}-\gamma$
C. $\alpha+\beta=\gamma$
D. $\alpha+\beta+\gamma = 180^{\circ}$

答案：
B【解析】如图，过点$B$，$D$，$F$分别作水面的垂线，则$PC// DE// QG$，所以$\angle BDE=\angle DBC$，$\angle FDE=\angle DFG$，所以$\angle BDF=\angle BDE+\angle FDE=\angle DBC+\angle DFG$。由题可得，$\angle DBC=\frac{3}{4}\angle ABP=\frac{3}{4}(90^{\circ}-\alpha)$，$\angle DFG=\frac{3}{4}\angle HFQ=\frac{3}{4}(90^{\circ}-\beta)$，所以$\angle BDF=\frac{3}{4}(90^{\circ}-\alpha)+\frac{3}{4}(90^{\circ}-\beta)=\frac{3}{4}(180^{\circ}-\alpha-\beta)$，即$\gamma = 135^{\circ}-\frac{3}{4}(\alpha+\beta)$，所以$\frac{3}{4}(\alpha+\beta)=135^{\circ}-\gamma$，故选B。

2[2024浙江诸暨期末，较难]如图，直线AB//CD，现将两个直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内：
步骤1：将一个含30°角(∠GFE = 30°)的直角三角尺(三角形EFG)如图放置，使得点E，F落在直线CD上，直角顶点G位于两平行线之间；
步骤2：将另一个含45°角(∠MPN = ∠MNP = 45°)的直角三角尺(三角形PMN)进行放置，使得点P落于直线AB上(点P在点A的右边)，边MN经过点G，满足∠EGN = 40°.
根据以上步骤及要求，∠APM的度数可以是①~⑥中的（ ）
①10°；②20°；③70°；④80°；⑤160°；⑥170°.


A. ①③⑥
B. ①④⑥
C. ②④⑤
D. ②③⑤

答案：
A【解析】如图
(1)，过点$G$作$GH// AB$，令$MN$与$AB$交于$K$。因为$AB// CD$，所以$AB// CD// GH$，所以$\angle FGH=\angle EFG = 30^{\circ}$，$\angle AKG=\angle HGN$。因为$\angle EGN = 40^{\circ}$，$\angle EGF = 90^{\circ}$，所以$\angle FGN = 50^{\circ}$，所以$\angle AKG=\angle HGN = 80^{\circ}$，所以$\angle PKM=\angle AKG = 80^{\circ}$。因为$\angle M = 90^{\circ}$，所以$\angle APM = 180^{\circ}-\angle M-\angle PKM = 10^{\circ}$。如图
(2)，过点$G$作$GH// AB$，过点$M$作$KM// AB$。因为$AB// CD$，所以$AB// CD// GH// KM$，所以$\angle FGH=\angle EFG = 30^{\circ}$，$\angle KMG=\angle HGM$，$\angle APM=\angle PMK$。因为$\angle EGN = 40^{\circ}$，$\angle EGF = 90^{\circ}$，所以$\angle KMG=\angle HGM = 180^{\circ}-90^{\circ}-40^{\circ}-30^{\circ}=20^{\circ}$。因为$\angle PMN = 90^{\circ}$，所以$\angle APM=\angle PMK = 90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$。如图
(3)，过点$G$作$KG// AB$交$PN$于点$K$。因为$AB// CD$，所以$AB// CD// GK$，所以$\angle FGK=\angle EFG = 30^{\circ}$，$\angle APK=\angle PKG$。因为$\angle EGN = 40^{\circ}$，$\angle EGF = 90^{\circ}$，所以$\angle FGN = 50^{\circ}$，所以$\angle KGN = 80^{\circ}$，所以$\angle NKG = 180^{\circ}-\angle PNM-\angle KGN = 55^{\circ}$，所以$\angle APK=\angle PKG = 180^{\circ}-\angle GKN = 125^{\circ}$，所以$\angle APM=\angle APN+\angle MPN = 170^{\circ}$。故选A。

3新考法[2023浙江温州调研，较难]如图(1)是一盏可调节台灯，图(2)为示意图. 固定底座AO⊥OE于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆. 在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的∠MDN始终保持不变. 如图(2)，调节台灯使光线DN//BA，此时∠BAO = 130°，且CD的延长线恰好是∠MDN的平分线，则∠MDN = ________。

答案：
$80^{\circ}$【解析】如图，过点$A$作$AF// OE$，过点$B$作$BG// AF$交$DN$于点$H$。因为$AO\perp OE$，所以$\angle AOE = 90^{\circ}$。因为$AF// OE$，所以$\angle OAF = 90^{\circ}$，所以$\angle BAF=\angle BAO-\angle OAF = 40^{\circ}$。因为$BG// AF$，所以$\angle BAF=\angle HBA = 40^{\circ}$。因为$DN// BA$，所以$\angle DHB=\angle HBA = 40^{\circ}$。因为$AF// OE$，$CD// OE$，$BG// AF$，所以$BG// CD$，所以$\angle DHB=\angle PDN = 40^{\circ}$。因为$CD$的延长线恰好是$\angle MDN$的平分线，所以$\angle MDN = 2\angle PDN = 80^{\circ}$。故答案为$80^{\circ}$。

4思想方法|数形结合[2024浙江杭州期末，较难]已知AB//CD，点E，F分别在AB，CD上，M为AB与CD之间一点.
(1)如图(1)，试说明∠EMF = ∠BEM + ∠MFD；
(2)如图(2)，∠BEM = 40°，MH平分∠EMF，∠BEM的平分线与MH的反向延长线交于点N，若∠N = 30°，求∠MFD的度数；
(3)如图(3)，FT平分∠MFC，TE平分∠FTM，若∠TMF = 90°，则$\frac{\angle ETF}{\angle MFD}$的值为________。

答案：
【解】
(1)如图
(1)，过$M$作$MQ// AB$。因为$AB// CD$，所以$AB// MQ// CD$，所以$\angle EMQ=\angle BEM$，$\angle FMQ=\angle MFD$，所以$\angle EMQ+\angle FMQ=\angle BEM+\angle MFD$，所以$\angle EMF=\angle BEM+\angle MFD$。
(2)如图
(2)，延长$MH$交$DC$的延长线于点$G$，过点$F$作$FP// MG$。因为$EN$平分$\angle BEM$，$\angle BEM = 40^{\circ}$，所以$\angle BEN=\angle MEN = 20^{\circ}$。因为$MH$平分$\angle EMF$，所以$\angle EMH=\angle FMH$，设$\angle EMH=\angle FMH=\alpha$。因为$AB// CD$，由
(1)易知，$\angle BEN+\angle G=\angle N$，所以$\angle G=\angle N-\angle BEN = 30^{\circ}-20^{\circ}=10^{\circ}$，由
(1)得，$\angle BEM+\angle DFM=\angle EMF$，所以$\angle DFM=\angle EMF-\angle BEM = 2\alpha - 40^{\circ}$。因为$FP// MG$，所以$\angle MFP=\angle FMH=\alpha$，$\angle DFP=\angle G = 10^{\circ}$，所以$\angle DFM=\angle MFP+\angle DFP=\alpha + 10^{\circ}$，所以$2\alpha - 40^{\circ}=\alpha + 10^{\circ}$，解得$\alpha = 50^{\circ}$，所以$\angle MFD=\alpha + 10^{\circ}=60^{\circ}$。
(3)如图
(3)，过$T$作$TS// AB$。设$\angle MFD = x^{\circ}$。因为$FT$平分$\angle MFC$，所以$\angle CFT=\angle TFM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle MFD)=90^{\circ}-\frac{1}{2}x^{\circ}$。因为$TS// AB$，$AB// CD$，所以$TS// CD$，所以$\angle STF=\angle CFT = 90^{\circ}-\frac{1}{2}x^{\circ}$。由
(1)易知，$\angle STM+\angle MFD=\angle TMF = 90^{\circ}$，所以$\angle STM = 90^{\circ}-x^{\circ}$，所以$\angle FTM=\angle STF-\angle STM=(90^{\circ}-\frac{1}{2}x^{\circ})-(90^{\circ}-x^{\circ})=\frac{1}{2}x^{\circ}$。因为$TE$平分$\angle FTM$，所以$\angle ETF=\frac{1}{2}\angle FTM=\frac{1}{4}x^{\circ}$，所以$\frac{\angle ETF}{\angle MFD}=\frac{1}{4}$。故答案为$\frac{1}{4}$。