某市2020年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张. 为了节能减排和控制总量，从2021年开始的十九年内，每年电动型汽车牌照发放的数量比上一年增长50%，而每年燃油型汽车牌照发放的数量比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的汽车牌照超过15万张，以后每年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年的水平不变. 记2020年为第一年.
(1) 分别求第$n(1\leq n\leq20,n\in \mathbf{N}^*)$年发放的燃油型汽车牌照和电动型汽车牌照的数量；
(2) 从2020年算起，求二十年间发放的汽车牌照总量；
(3) 为满足电动型汽车对充电桩数量日益增长的需求，该市计划逐年新建一批充电站，2020年该市共有4个充电站. 设第$n$年新建的充电站数量为$c_{n}$，则有$c_{n}^{2}=c_{n + 1}+3nc_{n}-3$，试归纳得出该市第$n$年新建的充电站数量并证明.