《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题 (多选)(2025·全国二卷)
双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别是$F_{1}$，$F_{2}$，左、右顶点分别为$A_{1}$，$A_{2}$，以$F_{1}F_{2}$为直径的圆与$C$的一条渐近线交于$M$，$N$两点，且$\angle NA_{1}M=\frac{5\pi}{6}$，则 (ACD)

A.$\angle A_{1}MA_{2}=\frac{\pi}{6}$
B.$|MA_{1}|=2|MA_{2}|$
C.$C$的离心率为$\sqrt{13}$
D.当$a=\sqrt{2}$时，四边形$NA_{1}MA_{2}$的面积为$8\sqrt{3}$

答案：
典型例题ACD　解析:不妨设渐近线为$y= \frac {b}{a}x$，$M$在第一象限，$N$在第三象限，对于$A$，由双曲线的对称性可得四边形$A_1MA_2N$为平行四边形，故$\angle A_1MA_2=\pi-\frac {5\pi}{6}=\frac {\pi}{6}$，故$A$正确；
对于$B$，方法一:如图，因为$M$在以$F_1F_2$为直径的圆上，故$F_1M\perp F_2M$且$|MO|=c$，设$M(x_0,y_0)$，则$\begin{cases}x_0^2+y_0^2=c^2, \\ y_0=\frac {b}{a}x_0 \end{cases}=\begin{cases}x_0=a, \\ y_0=b,\end{cases}$故$MA_2\perp A_1A_2$，由$A$得$\angle A_1MA_2=\frac {\pi}{6}$，故$|MA_2|=|MA_1|×\frac {\sqrt {3}}{2}$，即$|MA_1|=\frac {2\sqrt {3}}{3}|MA_2|$，故B错误；
　　　　　　　
方法二:在$\triangle OMA_2$中利用余弦定理知，$|MA_2|^2=|OM|^2+|OA_2|^2- 2|OM||OA_2|\cos\angle MOA_2$，即$|MA_2|^2=c^2+a^2-2ac·\frac {a}{c}=b^2$，则$|MA_2|= b$，则$\triangle A_1A_2M$为直角三角形，且$\angle A_1MA_2=\frac {\pi}{6}$，则$2|MA_2|=\sqrt {3}|MA_1|$，故B错误；
对于$C$，方法一:因为$\overrightarrow {MO}=\frac {1}{2}(\overrightarrow {MA_1}+\overrightarrow {MA_2})$，故$4\overrightarrow {MO}^2=\overrightarrow {MA_1}^2+2\overrightarrow {MA_1}· \overrightarrow {MA_2}+\overrightarrow {MA_2}^2$，由$B$可知$|MA_2|=b$，$|MA_1|=\frac {2\sqrt {3}}{3}b$，故$4c^2=b^2+\frac {4}{3}b^2+2× b× \frac {2\sqrt {3}}{3}b× \frac {\sqrt {3}}{2}=\frac {13}{3}b^2=\frac {13}{3}(c^2-a^2)$，即$c^2=13a^2$，故离心率$e=\sqrt {13}$，故$C$正确；
方法二:因为$\frac {|MA_2|}{|A_1A_2|}=\frac {b}{2a}=\sqrt {3}$，则$\frac {b}{a}=2\sqrt {3}$，则$e=\frac {c}{a}=\sqrt {1+\frac {b^2}{a^2}} =\sqrt {1+(2\sqrt {3})^2}=\sqrt {13}$，故$C$正确；
对于$D$，当$a=\sqrt {2}$时，由$C$可知$e=\sqrt {13}$，故$c=\sqrt {26}$，故$b=2\sqrt {6}$，故四边形$NA_1MA_2$的面积为$2S_{\triangle MA_1A_2}=2×\frac {1}{2}×2\sqrt {6}×2\sqrt {2}=8\sqrt {3}$，故$D$正确。

变式训练 1. (2025·陕西咸阳一模)
已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右顶点分别为$A_{1}$，$A_{2}$，左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，以线段$F_{1}F_{2}$为直径的圆与椭圆$C$在第二象限交于点$M$，且$\overrightarrow{MA_{1}}·\overrightarrow{MA_{2}}=-\frac{1}{4}a^{2}$，则$C$的离心率为 (A)

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{5}$

答案： 变式训练1. $A$ 解析:因为$\overrightarrow {MA_1}=\overrightarrow {MO}+\overrightarrow {OA_1}$，$\overrightarrow {MA_2}=\overrightarrow {MO}+\overrightarrow {OA_2}=\overrightarrow {MO}-\overrightarrow {OA_1}$，则$\overrightarrow {MA_1}·\overrightarrow {MA_2}=(\overrightarrow {MO}+\overrightarrow {OA_1})·(\overrightarrow {MO}-\overrightarrow {OA_1})=\overrightarrow {MO}^2-\overrightarrow {OA_1}^2$，即$c^2-a^2= \frac {c^2}{4}$，可得$\frac {c^2}{a^2}=\frac {3}{4}$，所以$C$的离心率$e=\frac {c}{a}=\sqrt {\frac {c^2}{a^2}}=\frac {\sqrt {3}}{2}$。

变式训练 2. (2025·山东聊城模拟)
已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右顶点分别为$A$，$B$，过左焦点$F$作斜率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$的直线$l$，若直线$l$与以$OB$为直径的圆相切，则椭圆的离心率是 (C)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案：
变式训练2. $C$ 解析:设$OB$的中点为$M$，$l$与圆相切的切点为$N$，$F(-c,0)$，如图所示。
　　　　　　　
易知$|OM|=|MN|=\frac {a}{2}$，$|OF|=c$，$MN\perp NF$。因为直线$l$的斜率为$\frac {2\sqrt {5}}{5}$，即$\tan\angle NFM=\frac {2\sqrt {5}}{5}$，则$\sin\angle NFM=\frac {2}{3}$，所以$\sin\angle NFM=\frac {|MN|}{|FM|}=\frac {\frac {a}{2}}{c+\frac {a}{2}} =\frac {2}{3}$，解得$a=4c$，则离心率为$e=\frac {c}{a}=\frac {1}{4}$。