《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题（全国高考）
已知曲线 $ C:y=\frac{x^2}{2} $，$ D $ 为直线 $ y=-\frac{1}{2} $ 上的动点，过 $ D $ 作 $ C $ 的两条切线，切点分别为 $ A,B $。
(1) 证明：直线 $ AB $ 过定点；
(2) 若以 $ E(0,\frac{5}{2}) $ 为圆心的圆与直线 $ AB $ 相切，且切点为线段 $ AB $ 的中点，求四边形 $ ADBE $ 的面积。

答案：
(1)证明：设$D\left(t,-\frac{1}{2}\right),A(x_1,y_1)$，则$y_1=\frac{1}{2}x_1^2$。又因为$y=\frac{1}{2}x^2$，所以$y^\prime=x$，则切线$DA$的斜率为$x_1$，故$DA$的方程为$y_1+\frac{1}{2}=x_1(x-t)$，整理得$2tx_1-2y_1+1=0$。
设$B(x_2,y_2)$，同理得$DB$的方程为$2tx_2-2y_2+1=0$。
$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$的坐标都满足直线方程$2tx-2y+1=0$，于是直线$2tx-2y+1=0$过点$A,B$，而两个不同的点确定一条直线，所以直线$AB$的方程为$2tx-2y+1=0$，即$2tx+(-2y+1)=0$，当$x=0,-2y+1=0$时等式恒成立，所以直线$AB$恒过定点$\left(0,\frac{1}{2}\right)$。
(2)解：设线段$AB$的中点为$G,A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$G\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right),\overrightarrow{EG}=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2-5}{2}\right),\overrightarrow{BA}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。由$\overrightarrow{EG}·\overrightarrow{BA}=0$，得$\frac{x_1+x_2}{2}(x_1-x_2)+\frac{y_1+y_2-5}{2}(y_1-y_2)=0$，将$y=\frac{x^2}{2}$代入上式并整理得$(x_1-x_2)(x_1+x_2)\left(\frac{x_1^2+x_2^2-6}{2}\right)=0$。因为$x_1-x_2\neq0$，所以$x_1+x_2=0$或$x_1^2+x_2^2=6$。联立直线$AB$的方程与曲线$C$的方程得$x^2-2tx-1=0$，所以$x_1x_2=-1$。
由
(1)知$D\left(\frac{x_1+x_2}{2},-\frac{1}{2}\right),F\left(0,\frac{1}{2}\right)$，所以$DG\perp x$轴，则$S_{四边形ADBE}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}EF·|x_2-x_1|+\frac{1}{2}GD·|x_2-x_1|=(x_2-x_1)+\frac{(x_1+x_2)^2+4}{8}(x_2-x_1)$（设$x_2＞x_1$）。
当$x_1+x_2=0$时，$(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4$，即$x_2-x_1=2$，$S_{四边形ADBE}=3$；
当$x_1^2+x_2^2=6$时，$(x_1+x_2)^2=4,(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=8$，即$x_2-x_1=2\sqrt{2},S_{四边形ADBE}=4\sqrt{2}$。
综上，四边形$ADBE$的面积为$3$或$4\sqrt{2}$。