《2025年学霸高考黑题数学人教版》

变式训练1.(2025·四川绵阳三模)
图是计算机科学中的一种极为重要的模型.图的连通性常应用于计算机网络、智能导航及AI算法优化等领域中.一个图$G$由顶点集$V$与边集$E$组成，记为$G=(V,E)$.顶点集$V$是这个图所有顶点的集合，图中任意$3$个顶点不在同一直线上.图的边是指两个不同的顶点直接相连成的线段，边集$E$就是这个图所有边的集合.如图所示为一个由$4$个顶点组成的图$G'$，其顶点集$V'=\{A,B,C,D\}$，边集$E'=\{AB,BC,BD\}$.若图$G$中依次存在一组边：$A_0A_1,A_1A_2,·s,A_{m - 1}A_m$，则称顶点$A_0,A_m$相互可达.如果图$G$中任意两个顶点相互可达，则称图$G$是连通的，如图所示的图$G'$就是连通的.
一个含有$n$个顶点的图$G_n$，任意两个顶点间有边的概率为$\frac{1}{2}$.设图$G_n$是连通的概率为$R(n)$，定义$R(1)=1$.
(1)当$n = 3$时，在顶点$A$与顶点$B$相互可达的条件下，求$A$与$B$之间有边的概率；
(2)当$n = 4$时，求恰有$3$个顶点相互可达的概率；
(3)求$R(5)$.

答案：
(1)解：
(1)设事件$X$：顶点$A$与顶点$B$相互可达，事件$Y$：$A$与$B$之间有边，当$n=3$时，$A$与$B$相互可达分以下两种情况：①$A$与$B$之间有边，概率为$\frac{1}{2}$；②$A$与$B$之间无边，但都与第三个顶点有边，概率为$(1-\frac{1}{2})×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，故$A$与$B$相互可达的概率为$P(X)=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$，故$P(X)=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$，而$P(XY)=P(Y)=\frac{1}{2}$，故$P(Y|X)=\frac{P(XY)}{P(X)}=\frac{4}{5}$，故$A$与$B$之间有边的概率为$\frac{4}{5}$.
(2)设事件$C$：恰有$3$个顶点相互可达，任取$3$个顶点，第$4$个顶点与这$3$个顶点均无边的概率为$\mathrm{C}_4^3×(1-\frac{1}{2})^3=\frac{1}{2}$，同时这$3$个顶点相互可达，故$P(C)=\frac{1}{2}× R(3)$，图$G_3$连通以下两种情况：
①三个顶点两两有边，概率为$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$；
②有两个顶点间无边，但都与第$3$个顶点有边，概率为$\mathrm{C}_3^2×(1-\frac{1}{2})×(\frac{1}{2})^2=\frac{3}{8}$，$\therefore R(3)=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{1}{2}$，则$P(C)=\frac{1}{2}× R(3)=\frac{1}{4}$.恰有$3$个顶点相互可达的概率为$\frac{1}{4}$
(3)固定任意一个顶点$A$，$G_2$是连通的就是两个顶点间有边时，$\therefore R(2)=\frac{1}{2}$，当$n＞2$时，设事件$D_{n,i}$：恰好有$(i-1)$个顶点与$x$相互可达，任取除$A$以外$(i-1)$个顶点，$\therefore$剩下$(n-i)$个顶点与这$i$个顶点都无边的概率为$\mathrm{C}_{n-1}^{i-1}×(1-\frac{1}{2})^{i(n-i)}$，同时这$i$个顶点相互可达，则$P(D_{n,i})=\mathrm{C}_{n-1}^{i-1}×(1-\frac{1}{2})^{i(n-i)}R(i)$，显然，任意两个事件$D_{n,i}$和$D_{n,j}$均为互斥事件，因此$R(n)=1-\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}(\frac{1}{2})^{i(n-i)}R(i)=1-\sum P(D_{n,i})$，$P(D_{4,1})=C_3^0(\frac{1}{2})R(1)=\frac{1}{8}$，$P(D_{4,2})=C_3^1(\frac{1}{2})^6R(2)=\frac{3}{32}$，$P(D_{4,3})=C_3^2(\frac{1}{2})^3R(3)=\frac{3}{16}$，$P(D_{5,1})=C_4^0(\frac{1}{2})^4R(1)=\frac{1}{16}$，$P(D_{5,2})=C_4^1(\frac{1}{2})^6R(2)=\frac{1}{32}$，$\therefore R(5)=1-(\frac{1}{16}+\frac{3}{32}+\frac{3}{16}+\frac{19}{128})=\frac{91}{128}$