《2025年学霸高考黑题数学人教版》

变式训练1.(江苏高考)设$\{ a_{n}\}$是首项为$a$,公差为$d$的等差数列$(d\neq 0)$,$S_{n}$是其前$n$项和.记$b_{n}=\frac{nS_{n}}{n^{2}+c}$,$n\in \mathbf{N}^{*}$,其中$c$为实数.
(1)若$c=0$,且$b_{1}$,$b_{2}$,$b_{4}$成等比数列,证明:$S_{nk}=n^{2}S_{k}$($k$,$n\in \mathbf{N}^{*}$);
(2)若$\{ b_{n}\}$是等差数列,证明:$c=0$.

答案：
(1)由题设，$S_n=na+\frac{n(n-1)}{2}d$，由$c=0$，得$b_n=\frac{S_n}{n}=\frac{n(n-1)}{2}a+\frac{n-1}{2}d$，又$b_1,b_2,b_4$成等比数列，
∴$b_2^2=b_1b_4$，即$(\frac{d}{2}+a)^2=a(\frac{3d}{2}+a)$，化简得$d^2-2ad=0$.
∵$d\neq0$，
∴$d=2a$.因此对于所有的$n\in\mathbf{N}^*$，$S_n=na+\frac{n(n-1)}{2}·2a=an^2$，$2a=an^2$，从而对于所有的$k,n\in\mathbf{N}^*$，$S_{nk}=a(nk)^2=n^2S_k$.
(2)设数列$\{b_n\}$的公差为$d_1$，则$b_n=b_1+(n-1)d_1$，即$\frac{nS_n}{n^2+c}=b_1+(n-1)d_1$，$n\in\mathbf{N}^*$，代入$S_n$的表达式，整理得，对于所有的$n\in\mathbf{N}^*$有$(d-\frac{1}{2}d_1)n^3+(b_1-d_1-a+\frac{1}{2}d_1)n^2+cd_1n=c(d_1-b_1)$，令$A=d-\frac{1}{2}d_1$，$B=b_1-d_1-a+\frac{1}{2}d_1$，$D=c(d_1-b_1)$，则对于所有的$n\in\mathbf{N}^*$有$An^3+Bn^2+cd_1n=D$，在上式中取$n=1,2,3,4$，
∴$A+B+cd_1=8A+4B+2cd_1=27A+9B+3cd_1=64A+16B+4cd_1$，从而有$\begin{cases}7A+3B+cd_1=0,\\19A+5B+cd_1=0,\\21A+5B+cd_1=0,\end{cases}$

典型例题2.(全国高考)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列$1$,$1$,$2$,$1$,$2$,$4$,$1$,$2$,$4$,$8$,$1$,$2$,$4$,$8$,$16,·s$,其中第一项是$2^{0}$,接下来的两项是$2^{0}$,$2^{1}$,再接下来的三项是$2^{0}$,$2^{1}$,$2^{2}$,依此类推.求满足如下条件的最小整数$N$:$N＞100$且该数列的前$N$项为$2$的整数幂.那么该款软件的激活码是
(A)

A.$440$
B.$330$
C.$220$
D.$110$

答案： A 解析：由题意得，数列如下：$1,2,1,2,4,·s,1,2,4,·s,2^{k(k + 1)}$项和为$S\frac{k(k+1)}{2}=1+\frac{(1 + 2)+·s+(1+2+·s+2^{k-1})}{2}=2^{k+1}-k-2$，要使$\frac{k(k + 1)}{2}＞100$，则有$k\geq14$，此时$k + 2＜2^{k+1}$，所以$k + 2$是第$(k + 1)$组等比数列$1,2,·s,2^k$的部分和.设$k + 2=1+2+·s+2^{t-1}=2^t-1$，所以$k=2^t-3=14$，则$t\geq5$，此时$k=2^5-3=29$，所以对应满足条件的最小整数$N=\frac{29×30}{2}+5=440$，故选A.

变式训练2.(2025·辽宁大连月考)把正整数按一定的规律排列成三角形数阵,如图所示.设$a_{ij}$($i$,$j\in \mathbf{N}^{*}$)是这个三角形数阵中从上往下数第$i$行、从左往右数第$j$个数,如$a_{42}=8$,若$a_{ij}=2025$,则$i$与$j$的和为
( )


A.$112$
B.$113$
C.$114$
D.$115$

答案： D 解析：由三角形数阵可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第$m$行有$m$个数，记$a_n$为第$n$个奇数，则$a_n=1+2(n-1)=2n-1$，又$2025=2×1013-1$，所以$2025$为第$1013$个奇数.又前$32$个奇数行，$31$个奇数行共有奇数$1+3+·s+61=\frac{31×(1+61)}{2}=961$，前$32$个奇数行，共有奇数$1+3+·s+61+63=\frac{32×(1+63)}{2}=1024$，故$961＜1013＜1024$，$31+32=63$，故$2025$在第$63$行，且$1013-961=52$，所以$i=63,j=52$，所以$i+j=63+52=115$.

变式训练3.(2025·山东淄博月考)如图所示的是一个按某种规律排列的数阵,根据规律,自然数$2025$应该排在从上向下数的第$m$行,是该行中从左向右数的第$n$个数,那么$m+n$的值是_______.

答案： 134 解析：根据题图中规律可知，每一行的最后一个数分别为$1,4,9,16,·s$，且个数为$1,3,5,7,·s$，则第$n$行的最后一个数为$n^2$，个数为$2n-1,k\in\mathbf{N}^*$.因为$2025=45^2$，所以$2025$排在第$45$行最后一个，又第$45$行个数为$2×45-1=89$，所以$m=45,n=89$，所以$m+n=134$.故答案为$134$.

变式训练4.(2025·山东滨州期中)将$n^{2}$个实数排成$n$行$n$列的数阵,形式如图.已知$a_{ij}＞0$($i$,$j=1$,$2$,$·s$,$n$),且每一行均为等差数列,每一列均为公比为$q$的等比数列.已知$a_{23}=10$,$a_{25}=18$,$a_{46}=88$,设$S=a_{11}+a_{22}+·s+a_{nn}$,则$S=$_______.

答案： (2n-3)·2^n+3 解析：由题意每一行均为等差数列，设第二行的公差为$d$，则有$2d=a_{23}-a_{23}=8$，故$d=4$，从而可得第二行的通项公式为$a_{2n}=4(n-3)=4n-2$，所以$a_{26}=22$.又因为每一列均为公比为$q$的等比数列，且$a_{46}=88$.又因为$a_{ij}＞0$，故$q=2$，即有$a_{mn}=a_{m-2}·2^{m-2}=(2n-1)·2^{m-1}$，从而有$a_{nn}=(2n-1)·2^{n-2}$，故$S=1×2^0+3×2^1+5×2^2+·s+(2n-3)×2^{n-1}+(2n-1)×2^{n-1}$①，$2S=1×2^1+3×2^2+5×2^3+·s+(2n-3)×2^n+(2n-1)×2^n$②，所以$-S=1+2(2^1+2^2+·s+2^{n-1})-(2n-1)×2^n$，即$S=(2n-3)·2^n+3$.