《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x,y满足x²+y²-xy=1,则 (BC)

A.x+y≤1
B.x+y≥-2
C.x²+y²≤2
D.x²+y²≥1

答案： 典型例题 BC 解析:因为$ab \leqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leqslant \frac{a^2+b^2}{2} (a,b \in \mathbf{R})$，所以由$x^2+y^2-xy=1$可变形为$(x+y)^2-1=3xy \leqslant 3\left(\frac{x+y}{2}\right)^2$，解得$-2 \leqslant x+y \leqslant 2$，当且仅当$x=y=-1$时，$x+y=-2$，当且仅当$x=y=1$时，$x+y=2$，所以 A 错误，B 正确；
由$x^2+y^2-xy=1$可变形为$(x^2+y^2)-1=xy \leqslant \frac{x^2+y^2}{2}$，解得$x^2+y^2 \leqslant 2$，当且仅当$x=y=\pm 1$时取等号，所以 C 正确；
$x^2+y^2-xy=1$变形可得$\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2=1$，设$x-\frac{y}{2}=\cos \theta$，$\frac{\sqrt{3}}{2}y=\sin \theta$，所以$x=\cos \theta+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \theta$，$y=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin \theta$，因此$x^2+y^2=\cos^2 \theta+\frac{\sqrt{3}}{3}\sin 2\theta+\frac{2}{\sqrt{3}}\sin \theta \cos \theta=1+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin 2\theta-\frac{1}{3}\cos 2\theta+\frac{1}{3}= \frac{4}{3}+\frac{2}{3}\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) \in [\frac{2}{3},2]$，所以当$x=\frac{\sqrt{3}}{3},y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$时满足等式，则$x^2+y^2 \geqslant 1$不成立，所以 D 错误.

变式训练1.(多选)(2025·四川成都外国语学校模拟)若正实数a,b满足a+b=1,则 (ACD)

A.√a+√b的最大值是√2
B.$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值是$\frac{9}{2}$
C.(1+a)(1+b)的最大值是$\frac{9}{4}$
D.a²+2b²的最小值是$\frac{2}{3}$

答案： 变式训练 1. ACD 解析:由基本不等式得$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a+b}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b} \leqslant \sqrt{2}$，当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时等号成立，所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的最大值为$\sqrt{2}$，故 A 正确；
$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{4}{b})(a+b)=5+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b} \geqslant 5+2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{4a}{b}}=9$，当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{4a}{b}$，即$b=2a=\frac{2}{3}$时等号成立，所以$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值是 9，故 B 错误；
$(1+a)(1+b) \leqslant [\frac{(1+a)+(1+b)}{2}]^2=[\frac{2+(a+b)}{2}]^2=\frac{9}{4}$，当且仅当$1+a=1+b$，即$a=b=\frac{1}{2}$时等号成立，所以$(1+a)(1+b)$的最大值是$\frac{9}{4}$，故 C 正确；
$a^2+2b^2=(1-b)^2+2b^2=3b^2-2b+1=3(b-\frac{1}{3})^2+\frac{2}{3}$，当$b=\frac{1}{3}$时，$a^2+2b^2$取得最小值$\frac{2}{3}$，故 D 正确.

变式训练2.(2025·河北沧州模拟)已知x＞1,y＜0,且3y(1-x)=x+8,则x-3y的最小值为 (B)

A.6
B.8
C.$\frac{15}{2}$
D.$\frac{13}{2}$

答案： 变式训练 2. B 解析:因为$3y(1-x)=x+8$，所以$y=\frac{x+8}{3(1-x)}$，所以$x-\frac{9}{x-1}+2 \geqslant 2\sqrt{(x-1) · \frac{9}{x-1}}+2=8$，当且仅当$x-1=\frac{9}{x-1}$，即$x=4$时取等号，所以$x-3y$的最小值为 8.