《2025年学霸高考黑题数学人教版》

变式训练 18. (2025·江苏盐城中学月考)
已知点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，若 $\overrightarrow{AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，则 $\triangle PBC$ 与 $\triangle ABC$ 的面积比为 (A)

A.$1 : 3$
B.$1 : 2$
C.$2 : 3$
D.$3 : 4$

答案：
变式训练18.A解析:方法一:由$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，变形可得$4\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+9\overrightarrow{PC}=0$，根据结论可得$\frac{S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{4}{4 - 1 + 9}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，即$S_{\triangle PBC}:S_{\triangle ABC}=1:3$.
方法二:如图，在线段$AB$上取点$D$使$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{AD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，过点$A$作直线$l$使$l// BC$，在$l$上取点$E$使$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$，过点$D$作$l$的平行线，过点$E$作$AB$的平行线，设交点为$P$，连接$PA$，$PB$，$PC$，则由平行四边形法则可得$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$.设$\triangle PBC$底边$BC$上的高为$h$，$\triangle ABC$底边$BC$上的高为$k$，由三角形相似可得$h:k = 1:3$.$\because\triangle PBC$与$\triangle ABC$有公共的底边$BC$，$\therefore\triangle PBC$的面积与$\triangle ABC$的面积的比为$1:3$.
　　　　

变式训练 19.
如图，已知点 $A$，$B$，$C$，$P$ 在同一平面内，$\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{QR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{QB}$，$\overrightarrow{RP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{RC}$，则 $S_{\triangle ABC} : S_{\triangle PBC}$ 等于 (B)


A.$14 : 3$
B.$19 : 4$
C.$24 : 5$
D.$29 : 6$

答案： 变式训练19.B解析:由$\overrightarrow{QR}=\frac{1}{3}\overrightarrow{QB}$，得$\overrightarrow{PR}-\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PQ})$，整理得$\overrightarrow{PR}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{PA}$，由$\overrightarrow{RP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{RC}$，得$\overrightarrow{RP}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PR})$，整理得$\overrightarrow{RP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PC}$，$\therefore\frac{1}{2}\overrightarrow{PC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{PA}$，整理得$4\overrightarrow{PA}+6\overrightarrow{PB}+9\overrightarrow{PC}=0$，根据结论，得$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle PBC}=(4 + 6 + 9):4 = 19:4$.

变式训练 20.
已知点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线 $EF$ 上任意一点，且 $EF // BC$，实数 $x$，$y$ 满足 $\overrightarrow{PA} + x\overrightarrow{PB} + y\overrightarrow{PC} = \boldsymbol{0}$，设 $\triangle ABC$，$\triangle PBC$，$\triangle PCA$，$\triangle PAB$ 的面积分别为 $S$，$S_1$，$S_2$，$S_3$，记 $\frac{S_1}{S} = \lambda_1$，$\frac{S_2}{S} = \lambda_2$，$\frac{S_3}{S} = \lambda_3$，则 $\lambda_2\lambda_3$ 取最大值时，$3x + y$ 的值为 (D)

A.$\frac{1}{2}$
B.-2
C.1
D.2

答案： 变式训练20.D解析:由题意可知$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$.因为$P$是$\triangle ABC$的中位线$EF$上任意一点，且$EF// BC$，所以$\lambda_1=\frac{1}{2}$，所以$\lambda_2+\lambda_3=\frac{1}{2}$，所以$\lambda_2\lambda_3\leqslant\left(\frac{\lambda_2+\lambda_3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{16}$，当且仅当$\lambda_2=\lambda_3=\frac{1}{4}$时等号成立，所以$\lambda_2\lambda_3$取最大值时，$P$为$EF$的中点.延长$AP$交$BC$于点$M$，则$M$为$BC$的中点，所以$\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PM}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$.又因为$\overrightarrow{PA}+x\overrightarrow{PB}+y\overrightarrow{PC}=0$，所以$x=y=\frac{1}{2}$，所以$3x + y = 2$.故选D.

变式训练 21.
平面上有 $\triangle ABC$ 及其内一点 $O$，若将 $\triangle OAB$，$\triangle OBC$，$\triangle OCA$ 的面积分别记作 $S_c$，$S_a$，$S_b$，则有关系式 $S_a · \overrightarrow{OA} + S_b · \overrightarrow{OB} + S_c · \overrightarrow{OC} = \boldsymbol{0}$。已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，若满足 $a · \overrightarrow{OA} + b · \overrightarrow{OB} + c · \overrightarrow{OC} = \boldsymbol{0}$，则 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的 (B)

A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心

答案： 变式训练21.B解析:由$S_a·\overrightarrow{OA}+S_b·\overrightarrow{OB}+S_c·\overrightarrow{OC}=0$，得$\overrightarrow{OA}=-\frac{S_b}{S_a}\overrightarrow{OB}-\frac{S_c}{S_a}\overrightarrow{OC}$，由$a·\overrightarrow{OA}+b·\overrightarrow{OB}+c·\overrightarrow{OC}=0$得$\overrightarrow{OA}=-\frac{b}{a}\overrightarrow{OB}-\frac{c}{a}\overrightarrow{OC}$，根据平面向量基本定理可得$\frac{S_b}{S_a}=\frac{b}{a}$，$\frac{S_c}{S_a}=\frac{c}{a}$，所以延长$CO$交$AB$于$E$，延长$BO$交$AC$于$F$，延长$AO$交$BC$于$D$，则$\frac{S_b}{S_a}=\frac{\vert\overrightarrow{AE}\vert}{\vert\overrightarrow{BE}\vert}$，又$\frac{S_b}{S_a}=\frac{b}{a}$，所以$CE$为$\angle ACB$的平分线，同理可得$\frac{S_c}{S_a}=\frac{c}{a}$，所以$BF$是$\angle ABC$的平分线，所以$O$为$\triangle ABC$的内心.故选B.

变式训练 22. (2025·广东江门月考)
已知 $P$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，满足 $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{AB}$，则 $\triangle ABP$ 与 $\triangle ABC$ 的面积之比是1:2。

答案： 变式训练22.$1:2$解析:方法一:由$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=3(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA})$，即$4\overrightarrow{PA}-2\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=0$.由结论得$\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{2}{4 - 2 + 2}=\frac{1}{2}$，即$S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ABC}=1:2$.
方法二:由$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=3(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA})$，即$4\overrightarrow{PA}-2\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=0$，化简得$2\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=0$，即$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=0$，得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}$，设$AC$中点为$D$，则$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{PD}$，所以点$P$在$\triangle ABC$的中位线上，所以$\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{2}$，即$S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ABC}=1:2$.

变式训练 23.
设 $P$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面上一点，且满足 $3\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{PC} = m\overrightarrow{AB}(m ＞ 0)$。若 $\triangle ABP$ 的面积为 8，则 $\triangle ABC$ 的面积为14。

答案：
变式训练23.14解析:方法一:根据结论:若$O$是$\triangle ABC$平面内的一点，且$x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=0$，则①$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\vert x\vert:\vert y\vert:\vert z\vert$；②$\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\vert x\vert}{\vert x\vert+\vert y\vert+\vert z\vert}$.
$\because3\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PC}=m\overrightarrow{AB}$，$(m + 3)\overrightarrow{PA}-m\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=0$，$\therefore\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{4}{m + 3 - m + 4}=\frac{4}{7}$.又$\because S_{\triangle ABP}=8$，$\therefore S_{\triangle ABC}=14$.
方法二:$\because3\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PC}=m\overrightarrow{AB}$，$\therefore\frac{3}{7}\overrightarrow{PA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{PC}=\frac{m}{7}\overrightarrow{AB}(m＞0)$，
　　　　　　　　　　　　　　
如图，设$D$为线段$AC$上的一点，且$\overrightarrow{AD}=\frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$，则$\frac{3}{7}\overrightarrow{PA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{PC}=\frac{m}{7}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PD}$，$\therefore\overrightarrow{PD}//\overrightarrow{AB}$，$\therefore S_{\triangle ABP}=S_{\triangle ABD}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=8×\frac{7}{4}=14$.

变式训练 24.
在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，$a = b = 4$，$c = 6$，$I$ 是 $\triangle ABC$ 的内切圆的圆心，若 $\overrightarrow{AI} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$，则 $x =$$\frac{2}{7}$，$y =$$\frac{3}{7}$。

答案： 变式训练24.$\frac{2}{7}$，$\frac{3}{7}$解析:方法一:易求得内切圆半径$r=\frac{3\sqrt{7}}{7}$，而$\overrightarrow{AI}=t\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}\right)$，所以$x=\frac{t}{6}$，$y=\frac{t}{4}$，另一方面，对上式两边同时作数量积得$\overrightarrow{AI}·\overrightarrow{AI}=t\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}\right)·\overrightarrow{AI}$，易知$\overrightarrow{AI}^{2}=3^{2}+\left(\frac{3\sqrt{7}}{7}\right)^{2}=\frac{72}{7}$，$\frac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}·\overrightarrow{AI}=3$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}·\overrightarrow{AI}=3$，所以$t=\frac{12}{7}$，所以$x=\frac{2}{7}$，$y=\frac{3}{7}$.
方法二:联想到结论，将$\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$转化为$-\overrightarrow{IA}=x(\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IA})+y(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA})$，整理为$(1 - x - y)\overrightarrow{IA}+x\overrightarrow{IB}+y\overrightarrow{IC}=0$，由结论得$(1 - x - y):x:y = 4:4:6$，解得$x=\frac{2}{7}$，$y=\frac{3}{7}$.

变式训练 25.
设点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内且为 $\triangle ABC$ 的外心，$\angle BAC = 30^{\circ}$，如图。若 $\triangle PBC$，$\triangle PCA$，$\triangle PAB$ 的面积分别为 $\frac{1}{2}$，$x$，$y$，则 $x + y$ 的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

答案： 变式训练25.$\frac{\sqrt{3}}{3}$解析:根据结论，得$\frac{1}{2}\overrightarrow{PA}+x\overrightarrow{PB}+y\overrightarrow{PC}=0$，即$\overrightarrow{AP}=-2x\overrightarrow{PB}-2y\overrightarrow{PC}$，平方得$\overrightarrow{AP}^{2}=4x^{2}\overrightarrow{PB}^{2}+4y^{2}\overrightarrow{PC}^{2}+8xy\vert\overrightarrow{PB}\vert\vert\overrightarrow{PC}\vert\cos\angle BPC$.又因为点$P$是$\triangle ABC$的外心，所以$\vert\overrightarrow{PA}\vert=\vert\overrightarrow{PB}\vert=\vert\overrightarrow{PC}\vert$，且$\angle BPC=2\angle BAC=60^{\circ}$，所以$x^{2}+y^{2}+xy=\frac{1}{4}$，$(x + y)^{2}=\frac{1}{4}+xy\leqslant\frac{1}{4}+\frac{(x + y)^{2}}{4}$，解得$0＜x + y\leqslant\frac{\sqrt{3}}{3}$，当且仅当$x=y=\frac{\sqrt{3}}{6}$时取等号，所以$(x + y)_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.