《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题 (2021·新高考全国Ⅱ)已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(x + 2)$为偶函数，$f(2x + 1)$为奇函数，则 (B)

A.$f(-\frac{1}{2}) = 0$
B.$f(-1) = 0$
C.$f(2) = 0$
D.$f(4) = 0$

答案： 典型例题B 解析：因为函数$f(x + 2)$为偶函数，所以$f(2 + x) = f(2 - x)$，可得$f(x + 3) = f(1 - x)$。因为函数$f(2x + 1)$为奇函数，所以$f(1 - 2x) = -f(2x + 1)$ ①，所以$f(1 - x) = -f(x + 1)$，用$x$替换①中$2x + 1$，得$f(2 - x) = -f(x)$，所以$f(2 + x) = - f(x)$，所以$f(1 + x) = -f(x - 1)$，所以$f(x + 3) = -f(x + 1) = f(x - 1)$，即$f(x) = f(x + 4)$，故函数$f(x)$是以4为周期的周期函数。因为函数$F(x) = f(2x + 1)$为奇函数，所以$F(0) = f(1) = 0$，故$f(-1) = -f(1) = 0$，其他三个选项未知。

变式训练1. (2025·浙江嘉兴三模)已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(1) = 1$，$f(x) = f(3 - x)$，$f(x) + f(x + 3) = f(2025)$，则$\sum_{k = 1}^{2025} f(k) =$ (D)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 变式训练1.D 解析：由$f(x) = f(3 - x)$，所以$f(2025) = f(x) + f(x + 3) = f(3 - x) + f(x + 3)$，所以$f(3 - x) + f(x + 3) = f(2025)$，所以$f(-x) + f(x + 6) = f(2025)$。由$f(x) = f(3 - x)$有$f(-x) = f(3 + x)$，所以$f(3 + x) + f(x + 6) = f(2025) = f(x) + f(x + 3)$，即$f(x + 6) = f(x)$，所以函数$f(x)$的周期为6，所以$f(x) + f(x + 3) = f(2025) = f(337 × 6 + 3) = f(3)$。
由$f(x) = f(3 - x),f(x) + f(x + 3) = f(3),f(1) = 1$，
令$x = 0$有$f(0) = f(3),f(0) + f(3) = f(3)$，所以$f(0) = f(3) = 0$，所以$f(x) + f(x + 3) = 0$，
令$x = 1$有$f(1) = f(2) = 1,f(1) + f(4) = 0$，即$f(4) = -f(1) = -1$，
令$x = 2$有$f(2) + f(5) = 0$，即$f(5) = -f(2) = -1,f(6) = f(0) = 0$，
所以$f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 1 + 1 + 0 + (-1) + (-1) + 0 = 0$，
所以$\sum_{k = 1}^{2025}f(k) = 337[f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6)] + f(1) + f(2) + f(3) = 2$。

变式训练2. (2025·河北张家口一模)已知定义在实数集上的函数$f(x)$满足以下条件：①$f(1 + x) = f(1 - x)$；②$f(3 + x) + f(3 - x) = 0$；③$f(5) = 1$.则$f(1) + f(2) + ·s + f(2025) =$ (A)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 变式训练2.A 解析：由①$f(1 + x) = f(1 - x)$可得$f(x) = f(2 - x)$，由②$f(3 + x) + f(3 - x) = 0$可得$f(x) = -f(6 - x)$，因此$f(x) = f(2 - x) = -f(x + 4) = f(x + 8)$，所以$f(x)$的周期为8。
$f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) + f(8) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(-1) + f(0) = [f(1) + f(5)] + [f(2) + f(4)] + [f(6) + f(0)] + f(3) + f(-1) = f(3) + f(-1) = 2f(3)$，由于$f(3) = 0$，$f(1) + f(2) + ·s + f(2025) = f(1) + 253[f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) + f(8)] = -f(5) = -1$。

变式训练3. (2025·福建福州模拟)已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(x - 1) = f(x) + f(x - 2)$，且$f(35) ＞ f(25)$，$f(30) ＞ f(10)$，则下列结论中一定正确的是 (B)

A.$f(20) ＞ 100$
B.$f(20) ＜ 1000$
C.$f(30) ＞ 1000$
D.$f(30) ＜ 10000$

答案： 变式训练3.B 解析：由题意可知，$f(x) = f(x - 1) - f(x - 2)$，所以函数$f(x)$的周期为6，设$f(1) = x,f(2) = y$，则$f(3) = y - x,f(4) = -x,f(5) = -y,f(6) = -y + x,f(35) = f(5) = -y,f(25) = f(1) = x,f(30) = f(6) = -y + x,f(10) = f(4) = -x$。由$f(35) ＞ f(25)$，则$-y ＞ x$，即$x + y ＜ 0$，
由$f(30) ＞ f(10)$，则$-y + x ＞ -x$，即$2x - y ＞ 0$，可得$\begin{cases}y - 2x ＜ 0 \\2x + 2y ＜ 0 \end{cases}$，可得$y ＜ 0,x$无法确定。
所以$f(20) = f(2) = y ＜ 0 ＜ 1000,f(30) = -y + x$无法判断。
综上所述，$f(20) ＜ 1000$。