《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题 1. (2024·四川绵阳模拟)在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$A(-t,0)(t＞0)$，$B(t,0)$，点$C$满足$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BC}=8$，且点$C$到直线$l:3x - 4y + 24 = 0$的最小距离为$\frac{9}{5}$，则实数$t$的值是1。

答案：
典型例题1.1解析:因为点$A(-t,0)(t \gt 0)$，$B(t,0)$，点$C$满足$\overrightarrow{AC}· \overrightarrow{BC}=8$，设$C(x_0,y_0)$，则$\overrightarrow{AC}=(x_0+t,y_0)$，$\overrightarrow{BC}=(x_0-t,y_0)$，$\overrightarrow{AC}· \overrightarrow{BC}=8\Rightarrow x_0^2+y_0^2=8+t^2$，所以点$C$的轨迹是以原点$O(0,0)$为圆心，半径$r=\sqrt{8+t^2}$的圆，如图.而$O(0,0)$到直线$l:3x - 4y + 24 = 0$的距离$d=\frac{24}{5} \gt \frac{9}{5}$.因为点$C$到直线$l:3x - 4y + 24 = 0$的最小距离为$\frac{9}{5}$，所以$\frac{24}{5}-r=\frac{9}{5}$
$\Rightarrow r=\sqrt{8+t^2}=3(t \gt 0)\Rightarrow t = 1$.
　　　　　　　　

变式训练 1. (多选)已知$A(-10,0)$，$B(2,0)$，动点$P$满足$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{BP}=-20$。设点$P$的轨迹为曲线$C$，直线$l:x - ay + 1 + a = 0$与曲线$C$交于$D$，$E$两点，则下列结论正确的是 (ABD)

A.曲线$C$的方程为$(x + 4)^{2} + y^{2} = 16$
B.$PA$的取值范围为$[2,10]$
C.当$DE$最小时，$a = - 3$
D.当$DE$最大时，$a = 3$

答案： 变式训练1.ABD解析:设点$P(x,y)$，则$\overrightarrow{AP}=(x + 10,y)$，$\overrightarrow{BP}=(x - 2,y)$，由$\overrightarrow{AP}· \overrightarrow{BP}=-20$，得$(x + 10)(x - 2)+y^2=-20$，整理得$x^2+y^2+8x=0$，即$(x + 4)^2+y^2=16$，所以曲线$C$的方程为$(x + 4)^2+y^2=16$，A正确；
显然曲线$C$是以点$C(-4,0)$为圆心，$4$为半径的圆，$AC = 6$，点$A$在圆$C$外，$PA_{\min}=AC - 4 = 2$，$PA_{\max}=AC + 4 = 10$，所以$PA$的取值范围为$[2,10]$，B正确；
直线$l:(x + 1)-a(y - 1)=0$恒过定点$M(-1,1)$，显然点$M(-1,1)$在圆$C$内，线段$DE$是经过点$M$的圆$C$的弦，直线$CM$的斜率$k=\frac{1}{3}$，由圆的性质知，当$DE$最小时，$CM\perp l$，则有$\frac{1}{a}· k = - 1$，解得$a=-\frac{1}{3}$，C错误；
当$DE$最大时，线段$DE$是经过点$M$的圆$C$的直径，则$-4 + 1+a = 0$，解得$a = 3$，D正确.