《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题1. (全国高考)已知函数$f(x)=\frac{a\ln x}{x + 1}+\frac{b}{x}$，曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$x + 2y - 3 = 0$.
(1)求$a,b$的值；
(2)如果当$x＞0$，且$x\neq1$时，$f(x)＞\frac{\ln x}{x - 1}+\frac{k}{x}$，求$k$的取值范围.

答案： 典型例题1. 解：
(1)$f^{\prime}(x)=\frac{a\left(\frac{x + 1}{x}-\ln x\right)}{(x + 1)^{2}}-\frac{b}{x^{2}}$,由于直线$x + 2y - 3 = 0$的斜率为$-\frac{1}{2}$,且过点$(1,1)$,故$f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$,即$\begin{cases}f(1)=1,\\-\frac{a}{2}-b = -\frac{1}{2}\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 1.\end{cases}$
(2)由
(1)知$f(x)=\frac{\ln x}{x + 1}+\frac{1}{x}$,所以$f(x)-\left(\frac{\ln x}{x - 1}+\frac{k}{x}\right)=\frac{1}{1 - x^{2}}\left[2\ln x+\frac{(k - 1)(x^{2}-1)}{x}\right]$. 设函数$h(x)=2\ln x+\frac{(k - 1)(x^{2}-1)}{x}(x＞0)$,则$h^{\prime}(x)=\frac{(k - 1)(x^{2}+1)+2x}{x^{2}}$ (i)当$k\leq0$时,由$h^{\prime}(x)=\frac{k(x^{2}+1)-(x - 1)^{2}}{x^{2}}$知,当$x\neq1$时,$h^{\prime}(x)＜0$,$h(x)$单调递减.而$h(1)=0$,故当$x\in(0,1)$时,$h(x)＞0$,可得$-\frac{1}{1 - x^{2}}h(x)＞0$;当$x\in(1,+\infty)$时,$h(x)＜0$,可得$-\frac{1}{1 - x^{2}}h(x)＞0$,所以当$x＞0$且$x\neq1$时,$f(x)-\left(\frac{\ln x}{x - 1}+\frac{k}{x}\right)＞0$,即$f(x)＞\frac{\ln x}{x - 1}+\frac{k}{x}$; (ii)当$0＜k＜1$时,由于$y=(k - 1)(x^{2}+1)+2x=(k - 1)x^{2}+2x+k - 1$的图象开口向下,且对称轴为直线$x=\frac{1}{1 - k}＞1$.而$h(1)=0$,当$x\in\left(1,\frac{1}{1 - k}\right)$时,$(k - 1)(x^{2}+1)+2x＞0$,故$h^{\prime}(x)＞0$,所以$f(x)$在$\left(1,\frac{1}{1 - k}\right)$时,$h(x)＞0$,可得$-\frac{1}{1 - x^{2}}h(x)＜0$,与题设矛盾; (iii)当$k\geq1$时,$(k - 1)(x^{2}+1)+2x＞0\Rightarrow h^{\prime}(x)＞0$,而$h(1)=0$,故当$x\in(1,+\infty)$时,$h(x)＞0$,可得$-\frac{1}{1 - x^{2}}h(x)＜0$,与题设矛盾. 综上可知,$k$的取值范围为$(-\infty,0]$.