《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题1. (2021·新高考全国Ⅱ)
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设$X$表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，$P(X = i)=p_{i}(i = 0,1,2,3)$。
(1)已知$p_{0}=0.4$，$p_{1}=0.3$，$p_{2}=0.2$，$p_{3}=0.1$，求$E(X)$；
(2)设$p$表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，$p$是关于$x$的方程$p_{0}+p_{1}x + p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}=x$的一个最小正实根，求证：当$E(X)\leq1$时，$p = 1$，当$E(X)＞1$时，$p＜1$；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义。

答案：
(1)解：$E(X)=0 × 0.4+1 × 0.3+2 × 0.2+3 × 0.1=1$.
(2)证明：设$f(x)=p_3x^3+p_2x^2+(p_1-1)x+p_0$.因为$p_3+p_2+p_1+p_0=1$，所以$f(x)=p_3x^3+p_2x^2-(p_2+p_0+p_3)x+p_0$，$f^{\prime}(x)=3p_3x^2+2p_2x-(p_2+p_0+p_3)$.
若$E(X) \leq 1$，则$p_1+2p_2+3p_3 \leq 1$，故$p_2+2p_3 \leq p_0$.因为$f^{\prime}(0)=-(p_2+p_0+p_3)＜0$，$f^{\prime}(1)=p_2+2p_3-p_0 \leq 0$，所以$f^{\prime}(x)$有两个不同零点$x_1,x_2$，且$x_1＜0 \leq 1 \leq x_2$，且$x \in (-\infty,x_1) \cup (x_2,+\infty)$时，$f^{\prime}(x)＞0$；$x \in (x_1,x_2)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，故$f(x)$在$(-\infty,x_1)$，$(x_2,+\infty)$上为增函数，在$(x_1,x_2)$上为减函数.若$x_2=1$，则$f(x)$在$(x_2,+\infty)$上为增函数且$f(1)=0$，而当$x \in (0,x_2)$时，因为$f(x)$在$(x_1,x_2)$上为减函数，故$f(x)＞f(x_2)=f(1)=0$，故$p_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3=x$的一个最小正实根；若$x_2＞1$，因为$f(1)=0$且$f(x)$在$(0,x_2)$上为减函数，所以$1$为$p_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3=x$的一个最小正实根.综上，若$E(X) \leq 1$，则$p=1$.若$E(X)＞1$，则$p_1+2p_2+3p_3＞1$，故$p_2+2p_3＞p_0$.此时$f^{\prime}(0)=-(p_2+p_0+p_3)＜0$，$f^{\prime}(1)=p_2+2p_3-p_0＞0$，故$f^{\prime}(x)$有两个不同零点$x_3,x_4$，且$x_3＜0＜x_4＜1$，且$x \in (-\infty,x_3) \cup (x_4,+\infty)$时，$f^{\prime}(x)＞0$；$x \in (x_3,x_4)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，故$f(x)$在$(-\infty,x_3)$，$(x_4,+\infty)$上为增函数，在$(x_3,x_4)$上为减函数，而$f(1)=0$，故$f(x_4)＜0$.又$f(0)=p_0＞0$，故$f(x)$在$(0,x_4)$上存在一个零点$p$，且$p＜1$，所以$p$为$p_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3=x$的一个最小正实根，此时$p＜1$，故当$E(X)＞1$时，$p＜1$.
(3)解：若每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代后必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.