《2025年学霸高考黑题数学人教版》

典型例题 1. (2025·辽宁沈阳二模)古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图①，设圆锥轴截面的顶角为 $2\alpha$，用一个平面 $\Gamma$ 去截该圆锥面，随着圆锥的轴和 $\Gamma$ 所成角 $\beta$ 的变化，截得的曲线的形状也不同。据研究，曲线的离心率为 $e = \frac{\cos \beta}{\cos \alpha}$，比如，当 $\alpha = \beta$ 时，$e = 1$，此时截得的曲线是抛物线。如图②，在底面半径为 $1$，高为 $2\sqrt{2}$ 的圆锥 $SO$ 中，$AB$，$CD$ 是底面圆 $O$ 上互相垂直的直径，$E$ 是母线 $SC$ 上一点，$SE = 2EC$，平面 $ABE$ 截该圆锥面所得的曲线的离心率为( )

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

答案： 典型例题1.C解析:由题意得$\angle OSC = \alpha$，$\angle EOS = \beta$，则$\angle SCO = 90^{\circ} - \alpha$，$\angle EOC = 90^{\circ} - \beta$，所以$e = \frac{\cos \beta}{\cos \alpha} = \frac{\sin \angle EOC}{\sin \angle SCO}$。在$\triangle SOC$中，$SE = 2EC$，$SO = 2\sqrt{2}$，$CO = 1$，且$SO \perp OC$，则$SC = \sqrt{SO^{2} + OC^{2}} = 3$，所以$EC = 1$，$\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SE} = \overrightarrow{OS} + \frac{2}{3}\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{OS} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OS}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{OC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OS}$，则$|\overrightarrow{OE}|^{2} = (\frac{2}{3}\overrightarrow{OC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OS})^{2} = \frac{4}{9}\overrightarrow{OC}^{2} + \frac{4}{9}\overrightarrow{OC} · \overrightarrow{OS} + \frac{1}{9}\overrightarrow{OS}^{2} = \frac{4}{3}$，所以$OE = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
由正弦定理得$\frac{EC}{\sin \angle EOC} = \frac{EO}{\sin \angle SCO}$，即$\frac{\sin \angle EOC}{\sin \angle SCO} = \frac{EC}{EO} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

变式训练 1. (2025·湖南长沙一中模拟)用平面 $\alpha$ 截圆柱面，圆柱的轴与平面 $\alpha$ 所成的角记为 $\theta$，当 $\theta$ 为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家当德兰创立的双球模型证明了上述结论。如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于平面 $\alpha$ 的上方和下方，并且与圆柱面和平面 $\alpha$ 均相切，切点分别为 $F_1$，$F_2$。下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有(D)


A.椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距 $|O_1O_2|$ 相等
C.所得椭圆的离心率 $e = \cos \theta$
D.其中 $G_1G_2$ 为椭圆长轴，$R$ 为球 $O_1$ 的半径，有 $R = |AG_1| · \tan \frac{\theta}{2}$

答案：
变式训练1.D解析:设$P$为截口曲线的椭圆的一点，如图，过点$P$作线段$EF$分别与球$O_1$，$O_2$切于点$F$，$E$，故有$|PF_1| + |PF_2| = |PF| + |PE| = |EF| = |O_1O_2|$，由椭圆定义可知，该椭圆以$F_1$，$F_2$为焦点，$|O_1O_2|$为长轴长，故B正确。
　　　　　
设椭圆长半轴长为$a$，半焦距为$c$，设$O$为$O_1O_2$的中点，$PF_1$与球$O_1$切于点$F_1$，$O_1F_1 \perp \alpha$，$O_1F_1 \subset \alpha$，故$O_1F_1 \perp OF_1$，有$|O_1F_1|^{2} = |OO_1|^{2} - |OF_1|^{2} = a^{2} - c^{2} = b^{2}$，则$2b = 2|O_1F_1|$，即椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确。
由题意可得$\theta = \angle O_1OF_1$，则$e = \frac{c}{a} = \frac{|OF_1|}{|OO_1|} = \cos \theta$，故C正确。
由题意知$|AG_1| = |F_1G_1|$，$\theta = \angle O_1OF_1 = \angle AOF_1$（这是因为$\angle O_1OF_1 + \angle OOF_1 = \angle AOF_1 + \angle O_1OF_1 = \frac{\pi}{2}$），则$\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}\angle AOF_1 = \angle G_1OF_1$，故$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{|F_1G_1|}{R} = \frac{|AG_1|}{R}$，即$R = \frac{|AG_1|}{\tan \frac{\theta}{2}}$，故D错误。